和と項の関係式から一般項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 条件は和 $S_n$ と項 $a_n$ が混ざった式 $S_n=2a_n-1$。このままでは一般項が見えない。

和と項をつなぐ橋は $a_n=S_n-S_{n-1}$($n\geqq 2$)。これを持ち込むのが第一手だ。

$S_n$ の式を $1$ つずらして引くと $S$ が消え、$a_n$ と $a_{n-1}$ の漸化式が現れる。

初項は $S_1=a_1$ から別に求める。あとは出てきた漸化式の型を読んで一般項にする。

① 初項を求める。 $n=1$ のとき $S_1=a_1$ なので

$$a_1=2a_1-1\Rightarrow a_1=1$$

② 漸化式を作る($n\geqq 2$)。 $a_n=S_n-S_{n-1}$ に $S_n=2a_n-1$、$S_{n-1}=2a_{n-1}-1$ を代入。

$$a_n=(2a_n-1)-(2a_{n-1}-1)=2a_n-2a_{n-1}$$

③ 漸化式を整理する。

$$a_n-2a_n=-2a_{n-1}\Rightarrow -a_n=-2a_{n-1}\Rightarrow a_n=2a_{n-1}$$

これは公比 $2$ の等比数列。初項 $a_1=1$ より

$$a_n=1\cdot 2^{n-1}=2^{n-1}$$

まとめ:$S_n$ の関係式は「$a_n=S_n-S_{n-1}$」で $a$ の漸化式に変換する。ここでは $a_n=2a_{n-1}$(等比)が出た。初項は $S_1=a_1$ から別に求めるのを忘れずに。

発展 — 一歩先へ。 条件 $S_n=2a_n-1$ は「和が、いちばん新しい項のちょうど $2$ 倍より $1$ 小さい」と言っている。これは公比 $2$ の等比数列に特有の性質だ。

一般に公比 $r$ の等比数列では、和は $S_n=\frac{r{a}_n-a_1}{r-1}$ と書ける。$r=2,a_1=1$ を入れると、ちょうど $S_n=2a_n-1$。条件式が公比と初項を丸ごと決めていたわけだ。

$1+2+4+\cdots +2^{n-1}=2^n-1$ のように、公比 $2$ では「それまでの総和が、次の項より $1$ だけ小さい」。だから最後の項が全体をほぼ支配する。倍々に増える数列の重みを物語る等式だ。

別解

別解 — 和 $S_n$ そのものの漸化式を立てる(得意な人向けの視点)。 $a_n$ でなく $S_n$ を主役にする。$a_n=S_n-S_{n-1}$ を条件に代入して、$S$ だけの式にしてしまう。

$S_n=2a_n-1=2(S_n-S_{n-1})-1$ を整理すると

$$S_n=2S_n-2S_{n-1}-1⟹S_n=2S_{n-1}+1.$$

初項は $S_1=a_1=2a_1-1$ より $S_1=1$。この漸化式は $+1$ を移して $S_n+1=2(S_{n-1}+1)$ と等比化できる。$S_1+1=2$ だから

$$S_n+1=2^n⟹S_n=2^n-1.$$

あとは $a_n=S_n-S_{n-1}=(2^n-1)-(2^{n-1}-1)=2^{n-1}$。$a_n$ の漸化式を先に作る本解と同じ答え。和を先に閉じてから差をとる、逆の順序のルートだ。