奇数の2乗の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(2k-1{)}^2$ の和。$2k-1$ は奇数だから「奇数の $2$ 乗の和」。

シグマの公式は $k,k^2$ については知っている。だから $(2k-1{)}^2$ を展開して、それらの形に持ち込む。

$(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$。

$\Sigma k^2$、$\Sigma k$、$\Sigma 1$ の $3$ つに分けて、それぞれ公式を当てはめて足す。

① 展開する。 $(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$ だから

$$\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=4\sum k^2-4\sum k+\sum 1$$

② 公式を当てはめる。

$$=4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}-4\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n=\frac{2n(n+1)(2n+1)}{3}-2n(n+1)+n$$

③ 整理する。 $n$ でくくり、通分する。

$$=\frac{n}{3}\left\{2(n+1)(2n+1)-6(n+1)+3\right\}=\frac{n}{3}\left\{2(2n^2+3n+1)-6n-6+3\right\}$$ $$=\frac{n}{3}(4n^2+6n+2-6n-3)=\frac{n}{3}(4n^2-1)=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$$

まとめ:奇数の $2$ 乗の和は「展開して $\Sigma$ の公式に分ける」。$(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$ を $\Sigma k^2,\Sigma k,\Sigma 1$ に。最後の因数分解 $4n^2-1=(2n-1)(2n+1)$ できれいにまとまる。

発展 — 一歩先へ。 奇数の平方和 $\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}$ は、全平方和から偶数平方和を引いた差。同じ発想で「奇数の和 $=n^2$」「偶数の和 $=n(n+1)$」も、全体と半分の関係から出る。$\Sigma$ の計算は「全体 $-$ 一部」の引き算に持ち込むと、場合分けや $1$ 次項の処理が楽になることが多い。

別解

別解 — 「全部の平方」から「偶数の平方」を引く(得意な人向けの視点)。 奇数の $2$ 乗の和は、$1$ から $2n$ までの全部の平方から、偶数の平方を引けば出る。

$$\sum _{k=1}^n(2k-1{)}^2=\sum _{j=1}^{2n}{j}^2-\sum _{k=1}^n(2k{)}^2=\sum _{j=1}^{2n}{j}^2-4\sum _{k=1}^n{k}^2.$$

平方和の公式 $\sum _{j=1}^m{j}^2=\frac{m(m+1)(2m+1)}{6}$ を $m=2n$ と $m=n$ で使う。

$$\frac{2n(2n+1)(4n+1)}{6}-4\cdot \frac{n(n+1)(2n+1)}{6}=\frac{n(2n-1)(2n+1)}{3}.$$

$(2k-1{)}^2=4k^2-4k+1$ と展開する本解と同じ結果。「奇数だけの和 $=$ 全体 $-$ 偶数」という引き算は、$1$ 次項 $-4k$ の扱いを避けられて見通しがよい。偶数の平方は $4k^2$ とまとめて $4$ を外に出せるのがポイント。