等差数列の項数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「$101$ は第何項か?」— 一般項を作って、方程式を解く。

一般項。 初項 $5$、公差 $3$ だから

$$a_n=5+3(n-1)=3n+2$$

これが $101$ になる $n$ を求める。

$$3n+2=101⟹3n=99⟹n=33$$

第 $33$ 項。

検算しよう。

$$a_{33}=3\times 33+2=99+2=101✓$$

「項数を求める」問題は、一般項の方程式を解くだけ。

答えが整数にならなかったら、「その数は数列に現れない」ということ — これも大事な結論だ(たとえば $100$ は $3n+2=100$ から $n=32.67$ となり、この数列には現れない)。

① 一般項を求める。

$$a_n=5+(n-1)\times 3=3n+2$$

② $a_n=101$ とおいて解く。

$$3n+2=101\Rightarrow 3n=99\Rightarrow n=33$$

よって $101$ は第 $33$ 項。

まとめ:「ある値が第何項か」は、一般項 = その値 の方程式を解くだけ。$n$ が正の整数になるか(数列の項として存在するか)も確かめると確実だ。

発展 — 一歩先へ。 「等差数列に、ある数が現れるか?」— この問いは、整数論の問題に化ける。

この数列の一般項は $a_n=3n+2$。

現れる数は、$5,8,11,14,17,\dots$

共通点は? — すべて「$3$ で割ると $2$ 余る数」だ。

$$a_n\equiv 2(\mathrm{mod}3)$$

$101$ は? $101=3\times 33+2$ → $3$ で割ると $2$ 余る ✓ だから現れる。

$100$ は? $100=3\times 33+1$ → 余りが $1$ → 現れない。

「余りを見るだけで、現れるかどうかが分かる」 — 計算せずに判定できる。

この視点で、有名な定理を紹介しよう。

ディリクレの算術級数定理($1837$ 年)

$$\boxed{\text{初項と公差が互いに素な等差数列には、素数が無限に含まれる}}$$

たとえば $3n+2$($3$ と $2$ は互いに素)には、素数が無限にある。

$$5,11,17,23,29,41,47,\dots (\text{すべて素数!})$$

「$4$ で割って $1$ 余る素数」も無限にある($5,13,17,29,\dots$)。

「$4$ で割って $3$ 余る素数」も無限にある($3,7,11,19,\dots$)。

素数は、どの"剰余類"にも、公平に無限個ずつ現れる。

逆に、初項と公差が互いに素でないと、話が変わる。

$a_n=4n+2$(初項 $6$、公差 $4$。$\gcd (4,2)=2$)なら

$$6,10,14,18,22,\dots (\text{すべて偶数!})$$

素数は、$1$ つも現れない($2$ より大きい偶数は、素数ではないから)。

「互いに素」という条件が、素数の存在を保証する。

そして、この定理の証明は、驚くほど難しい。 ディリクレは、解析学(複素関数論)を使って証明した — 整数の問題を、連続の世界の道具で解いたのだ。

「素数がどこに現れるか」 — この問いは、リーマン予想($100$ 万ドルの懸賞金がかかった未解決問題)へと続いている。

$3n+2$ という単純な等差数列。 その中に、素数論の深淵が口を開けている。

別解

式を立てずに、「何歩進んだか」を数えるだけでも解ける。 直感的で、暗算でもできる方法だ。

「歩数」で考える。

初項 $5$ から、$101$ まで、どれだけ離れているか。

$$101-5=96$$

$1$ 歩あたり、$3$ 進む(公差 $3$)。

何歩必要か。

$$96÷3=32\text{歩}$$

$32$ 歩進んだところが $101$。

しかし、初項が「第 $1$ 項」であることに注意。

$$\text{第 }1\text{ 項}\stackrel{1\text{歩}}{\to }\text{第 }2\text{ 項}\stackrel{1\text{歩}}{\to }\text{第 }3\text{ 項}\cdots$$

$32$ 歩進むと、第 $1+32=33$ 項。

$$\boxed{(\text{項番号})=(\text{歩数})+1}$$

$$n=32+1=33✓$$

式を立てずに、暗算で解けた。

この「$+1$」が、公式の $(n-1)$ の正体だ。

$$a_n=a_1+d(n-1)⟺(\text{値})=(\text{初項})+(\text{公差})\times (\text{歩数})$$

「$n$ 番目」と「$n-1$ 歩」の食い違い — これが、数列で最も多いミスの原因である。

この食い違いは、日常でもよく起きる。

「電柱が $10$ 本並んでいる。両端の電柱の間の距離は?」

電柱の間隔が $10$ か所? — 違う。$9$ か所である。

「植木算」 と呼ばれる、有名な引っかけ問題だ。

$$(\text{間隔の数})=(\text{木の数})-1$$

数列の $(n-1)$ は、まさにこの「植木算」の構造をしている。

同じ構造は、他にもある。

• 「$1$ 月 $1$ 日から $1$ 月 $10$ 日までは何日間?」 → $10$ 日間(両端を含む)
• 「$1$ 月 $1$ 日から $1$ 月 $10$ 日までは何日後?」 → $9$ 日後(歩数)

「個数」と「間隔の数」は、必ず $1$ ずれる。

この $\pm 1$ のズレを、プログラミングでは $1$ つずれ誤差と呼ぶ。 最も頻繁に起こるバグとして恐れられている。

「数え始めをどこにするか」 — 人類が永遠に間違え続けている、この小さな問題。数列の $(n-1)$ は、その最前線である。

検算の習慣を持とう。 答えが出たら、必ず一般項に代入して確かめる。

$$a_{33}=5+3\times 32=5+96=101✓$$

$5$ 秒の検算で、$\pm 1$ のミスは根絶できる。