Σ の計算(2次式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\Sigma$ の中が $k^2+2k$ と複数の項なら、まず項ごとに分ける。$\Sigma$ は足し算だから、$\sum (k^2+2k)=\sum k^2+2\sum k$ と分解してよい。

分けてしまえば、$\sum k^2$ と $\sum k$ の公式に当てはめるだけだ。

最後の整理がもうひと仕事。バラバラに足すのではなく、共通因数 $n(n+1)$ でくくってから中身をまとめると、分数の計算が一気に軽くなる。

① 項ごとに分ける。

$$\sum _{k=1}^n(k^2+2k)=\sum _{k=1}^n{k}^2+2\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)(2n+1)}{6}+2\cdot \frac{n(n+1)}{2}$$

② 共通因数でくくる。 どちらにも $\frac{n(n+1)}{6}$ が作れる。$2\cdot \frac{n(n+1)}{2}=\frac{6n(n+1)}{6}$。

$$=\frac{n(n+1)}{6}\{(2n+1)+6\}=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$$

ここで $(2n+1)+6=2n+7$。整理すると

$$=\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$$

まとめ:$\Sigma$ の $2$ 次式は「分けて公式 → 共通因数 $\frac{n(n+1)}{6}$ でくくる」。因数分解の形にまとめると、後の計算(値の代入や大小)がやりやすい。

発展 — 一歩先へ。 「小さい $n$ で検算」は $\Sigma$ 計算の生命線だ。$n=1$ を入れると和は $1+2=3$、公式は $\frac{1\cdot 2\cdot 9}{6}=3$。$n=2$ なら $3+8=11$、公式も $\frac{2\cdot 3\cdot 11}{6}=11$。$2$ 点で合えば、$2$ 次・$3$ 次の式の係数ミスはほぼ検出できる。

$\Sigma$ の答えは必ず $n$ の多項式(中身が $k$ の $2$ 次なら答えは $n$ の $3$ 次)になる。次数の見積もりと小さい $n$ の検算 — この $2$ つの習慣が、数列の計算を安全にする。

別解

$\Sigma$ を $2$ 本に分けずに、$1$ 本のまま片づける小技がある。

中身を平方完成に似た形で見ると

$$k^2+2k=(k+1{)}^2-1$$

つまりこの和は「$2^2+3^2+\cdots +(n+1{)}^2$ から $1$ を $n$ 回引いたもの」だ。

$$\sum _{k=1}^n(k+1{)}^2-n=\left\{\sum _{j=1}^{n+1}{j}^2-1^2\right\}-n=\frac{(n+1)(n+2)(2n+3)}{6}-1-n$$

整理すると $\frac{n(n+1)(2n+7)}{6}$ — 本解と同じ答えになる。

$\sum k^2$ の公式の $n$ を $n+1$ に置き換えて使う、という「公式の再利用」がポイント。中身がうまく $(k+c{)}^2$ の形に見えるときは、番号をずらして公式 $1$ 本で済ませられる。