Σ の計算(1次式)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\Sigma$ はバラせる(線形性)。

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=\sum _{k=1}^{n}2k+\sum _{k=1}^{n}1=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1$$

$2$ つの部品に分けた。

部品1: $\sum _{k=1}^{n}k=\frac{n(n+1)}{2}$

部品2: $\sum _{k=1}^{n}1=n$

ここが急所。 $\sum _{k=1}^{n}1$ は $1$ ではなく $n$($1$ を $n$ 回足すから)。

組み立てる。

$$2\times \frac{n(n+1)}{2}+n=n(n+1)+n=n^2+n+n=n^2+2n$$

「バラして、公式を当てて、組み立てる」 — $\Sigma$ 計算の $3$ 段階だ。

① 項ごとに分ける。

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=2\sum _{k=1}^{n}k+\sum _{k=1}^{n}1$$

② 各公式を使う。 $\sum k=\frac{n(n+1)}{2}$、$\sum _{k=1}^{n}1=n$。

$$=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}+n=n(n+1)+n=n^2+n+n=n^2+2n$$

まとめ:$\Sigma$ の中が和や差なら項ごとに分けて別々に公式を使う。定数 $1$ の和は ${\Sigma }_{k=1}^{n}1=n$(「$1$ を $n$ 回足す」)。ここを $1$ と間違えやすい。

発展 — 一歩先へ。 $\sum _{k=1}^n(2k+1)=n^2+2n$ という結果を、少し違う角度から眺めてみよう。

$2k+1$ は、$3$ から始まる奇数だった。

もし $2k-1$($1$ から始まる奇数)なら?

$$\sum _{k=1}^n(2k-1)=2\cdot \frac{n(n+1)}{2}-n=n^2+n-n={\mathbf{n}}^2$$

きれいに $n^2$!

$$\boxed{1+3+5+\cdots +(2n-1)=n^2}$$

「最初の $n$ 個の奇数を足すと、平方数になる」 — 問題 $10$ で扱う、有名な事実だ。

そして、今回の $\sum (2k+1)=n^2+2n$ との関係は?

$$\sum _{k=1}^n(2k+1)=\sum _{k=1}^n(2k-1)+\sum _{k=1}^{n}2=n^2+2n✓$$

各項を $2$ ずつ増やしたので、合計は $2n$ 増えた — 筋が通っている。

別の見方: $n^2+2n=(n+1{)}^2-1$

$$3+5+7+\cdots +(2n+1)=(n+1{)}^2-1$$

「$1$ を除いた、最初の $n+1$ 個の奇数の和」 と読める ✓

$$\underset{(n+1{)}^2}{\underbrace{1+3+5+\cdots +(2n+1)}}-1=n^2+2n$$

同じ答えに、$3$ つの道から到達した。

$1$ つの式を、いろいろな形に書き直す — この柔軟さが、数学の理解を深める。

$$n^2+2n=n(n+2)=(n+1{)}^2-1$$

どれも同じ数だが、それぞれ違うことを語っている。

• $n^2+2n$: $\Sigma$ の計算結果($2$ 次式)
• $n(n+2)$: 因数分解された形($2$ つの整数の積)
• $(n+1{)}^2-1$: 平方数から $1$ 引いた形

$n(n+2)=(n+1{)}^2-1$ という恒等式は、差が $2$ の $2$ 数の積が、その中間の数の $2$ 乗より $1$ 小さい、ということを言っている。

$$8\times 10=80=9^2-1$$ $$19\times 21=399=20^2-1$$

この事実は、暗算の技として使える。 $19\times 21$ を計算するとき、$20^2-1=399$ と即答できる。

数式の"別の顔"を知っていると、思わぬところで役に立つ。

別解

$\Sigma$ を使わず、「等差数列の和」として解ける。 $2k+1$ という式が、実は等差数列だからだ。

$2k+1$ の中身を見る。

$3,5,7,9,\dots$ — 公差 $2$ の等差数列だ!(奇数が並んでいる。)

等差数列の和の公式を使う。

$$S=\frac{(\text{項数})\times (\text{初項}+\text{末項})}{2}$$

• 項数: $n$
• 初項: $3$($k=1$ のとき)
• 末項: $2n+1$($k=n$ のとき)

$$S=\frac{n(3+2n+1)}{2}=\frac{n(2n+4)}{2}=n(n+2)=n^2+2n✓$$

$\Sigma$ の公式を使わずに、同じ答えが出た。

この見方の意味。

$$\boxed{\text{k の 1 次式の Σ }=\text{等差数列の和}}$$

$ak+b$ という形は、必ず等差数列(公差 $a$)になる。

だから、$1$ 次式の $\Sigma$ は、どちらの方法でも解ける。

検算しよう。$n=3$ で確かめる。

直接足す: $3+5+7=15$

公式: $3^2+2\times 3=9+6=15$ ✓

$n$ の式で答えが出たら、必ず小さい $n$ で検算する。 $n=1$、$n=2$、$n=3$ あたりで試せば、$10$ 秒で正誤が分かる。

$n=1$: 直接 $=3$、公式 $=1+2=3$ ✓

この検算は、$\Sigma$ の計算では必須だ。 公式の適用ミス($n$ と $n+1$ の取り違え、係数忘れ)は、必ず小さい $n$ で露見する。

そして、もう $1$ つの見方。

$n^2+2n=n(n+2)$ という答えの"形"に注目してほしい。

$n$ が $1$ 次式の和だから、答えは $2$ 次式 ✓ — 前の問題(発展)で見た「和をとると次数が $1$ 上がる」という法則と一致する。

答えの次数が合っているか — これも、有力な検算になる。

• $1$ 次式の $\Sigma$ → $2$ 次式
• $2$ 次式の $\Sigma$ → $3$ 次式

もし $1$ 次式の $\Sigma$ を計算して $1$ 次式が出てきたら、確実にどこかで間違えている。

「答えの形が、期待される形か」を確認する — 計算の最後に、必ずこの一手を入れたい。