和と項の関係式から一般項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $S_n$(和)と $a_n$(項)が混ざった関係式。両方を結ぶ橋は $a_n=S_n-S_{n-1}$($n\ge 2$)。

$S_n=2a_n-n$ と、$n$ を $1$ つずらした $S_{n-1}=2a_{n-1}-(n-1)$ を辺々引く。

左辺は $S_n-S_{n-1}=a_n$。整理すると $a_n=2a_{n-1}+1$ という漸化式が出る。

初項は $S_1=a_1=2a_1-1$ から $a_1=1$。この漸化式を解く。

① 漸化式を作る。 $S_n=2a_n-n$、$S_{n-1}=2a_{n-1}-(n-1)$。辺々引くと($n\ge 2$)

$$a_n=S_n-S_{n-1}=2a_n-2a_{n-1}-1⟹-a_n=-2a_{n-1}-1⟹a_n=2a_{n-1}+1$$

② 初項。 $n=1$ で $S_1=a_1=2a_1-1$ より $a_1=1$。

③ 漸化式を解く。 $a_n=2a_{n-1}+1$ は特性方程式型。$a_n+1=2(a_{n-1}+1)$ と変形でき、$\{a_n+1\}$ は初項 $a_1+1=2$、公比 $2$ の等比数列。

$$a_n+1=2\cdot 2^{n-1}=2^n⟹a_n=2^n-1$$

まとめ:$S_n$ と $a_n$ の関係式は「$a_n=S_n-S_{n-1}$ で漸化式化」。$S_n$ の式を $1$ つずらして引くのがコツ。出た漸化式 $a_n=2a_{n-1}+1$ は $+1$ を移して等比に持ち込む($a_n+1=2(a_{n-1}+1)$)。初項の別処理も忘れない。

発展 — 一歩先へ。 $a_n=2^n-1$ はメルセンヌ数。$S_n=2a_n-n$ のように「和が項で書ける」関係式は、$a_n=S_n-S_{n-1}$ で漸化式に変換するのが定石。逆に、漸化式から $S_n$ を作ることもできる。和と項は表裏一体で、片方が分かればもう片方も決まる。

別解

別解 — 小さい項を書き出して見抜く(苦手な人向けの実験ルート)。 漸化式を解く前に、最初の数項を具体的に計算して規則を見つける。

$S_1=a_1$ だから $a_1=2a_1-1$、これで $a_1=1$。

$S_2=a_1+a_2=2a_2-2$ に $a_1=1$ を入れて $1+a_2=2a_2-2$、$a_2=3$。同様に $a_3=7$、$a_4=15$。

並べると $1,3,7,15,\dots$。どれも「$2$ の累乗より $1$ 小さい」。$a_n=2^n-1$ と予想できる。

確かめると $a_n+1=2^n$ で、$a_n+1=2(a_{n-1}+1)$(公比 $2$ の等比)。$a_1+1=2$ から $a_n+1=2^n$、$a_n=2^n-1$。$a_n=2a_{n-1}+1$ を機械的に解く本解と同じ。「$+1$ すると等比になる」は、$a_n=2a_{n-1}+1$ の不動点 $-1$ を引く操作そのもの。実験で答えを見抜き、あとで理由づける流れも有効だ。