平方数と立方数を除いた数列

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 順に数えて2026個目を探すのは論外だ。「第2026項 $=x$」を、個数の等式に読み替える。

$x$ 以下に残る数の個数を $f(x)$ とすると、条件は「$f(x)=2026$ かつ $x$ 自身が残っている」。$f(x)$ は $x$ から平方数 $[\sqrt{x}]$ 個と立方数 $[\sqrt[3]{x}]$ 個を引くが、ここに罠がある。

平方数でも立方数でもある数(=6乗数)を2回引いている。 だから $[\sqrt[6]{x}]$ 個を足し戻す(包除原理)。あとは $x\approx 2026+(\text{引いた分})$ と見当をつけて検証すればよい。

① 個数関数を作る。 $x$ 以下の平方数は $[\sqrt{x}]$ 個、立方数は $[\sqrt[3]{x}]$ 個。両方に属する数は $t^6$ の形(6乗数)で $[\sqrt[6]{x}]$ 個。よって取り除かれる個数は $[\sqrt{x}]+[\sqrt[3]{x}]-[\sqrt[6]{x}]$ で、残る個数は

$$f(x)=x-[\sqrt{x}]-[\sqrt[3]{x}]+[\sqrt[6]{x}]$$

② 見当をつける。 $x$ は2026より「取り除かれた分」だけ大きいはず。$\sqrt{x}\approx 45$、$\sqrt[3]{x}\approx 12$、$\sqrt[6]{x}\approx 3$ と見て

$$x\approx 2026+45+12-3=2080$$

③ 検証する。 $45^2=2025\le 2080<46^2=2116$ より $[\sqrt{2080}]=45$。$12^3=1728\le 2080<13^3=2197$ より $[\sqrt[3]{2080}]=12$。$3^6=729\le 2080<4^6=4096$ より $[\sqrt[6]{2080}]=3$。よって

$$f(2080)=2080-45-12+3=2026$$

さらに $2080$ は平方数でない($2025$ と $2116$ の間)し立方数でもない($1728$ と $2197$ の間)から、$2080$ 自身が数列に残っている。$f$ は残っている数のところでだけ1ずつ増えるので、$f(2080)=2026$ かつ $2080$ が残っていることから、第2026項はちょうど $2080$。

まとめ: 「第 $n$ 項を求める」を「個数関数の方程式 $f(x)=n$」に読み替えるのが急所。そして2種類を取り除くときは、両方に属するもの(ここでは6乗数)の足し戻しを忘れない — 忘れると答えが3つずれる。見当 → 検証の2段構えで確定させる。

発展 — 一歩先へ。 「取り除かれた分だけ前へ進む」という見当のつけ方は、$x_0=2026$、$x_{m+1}=2026+[\sqrt{x_m}]+[\sqrt[3]{x_m}]-[\sqrt[6]{x_m}]$ という反復として系統化できる(本問は1回で $2080$ に到達し、以後動かない=自己無撞着)。「間引かれた列の第 $n$ 項」を個数関数の逆問題として解くこの型は、素数の第 $n$ 番目の見積もりなどにも通じる考え方だ。

別解

目印の平方数から歩く(見当が苦手な人へ)。 きりのよい目印として、$2026$ の直前の平方数 $45^2=2025$ を使う。

まず $x=2025$ までに残る個数を数える。$[\sqrt{2025}]=45$、$[\sqrt[3]{2025}]=12$($12^3=1728$)、$[\sqrt[6]{2025}]=3$($3^6=729$)だから

$$f(2025)=2025-45-12+3=1971$$

$2025$ は平方数で取り除かれるので、次の $2026$ が第 $1972$ 項。

ここから先、次の平方数は $46^2=2116$、次の立方数は $13^3=2197$。つまり $2026$ から $2115$ までは1つも取り除かれない。第 $1972$ 項から数えて $2026-1972=54$ 個先へそのまま歩けば

$$2026+54=2080$$

これが第2026項(範囲 $2116$ 未満に収まっているので安全)。

個数関数の方程式(本解)は一般に強力だが、目印+歩数は「次の障害物まで一直線」という状況で最速になる。どちらも $f$ の考え方が土台にあるのは同じだ。