数学B / 数列

等比数列の決定

★ 基礎等比数列

問題

第 $2$ 項が $6$ 、第 $4$ 項が $54$ である等比数列の初項と公比を求めよ。ただし公比は正とする。

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第 $2$ 項と第 $4$ 項の比をとると、初項が消えて公比だけの式になる。公比が決まれば初項はすぐ。

解答・解説

方針

$a_{4} = a_{2} \cdot r^{2}$ (第 $2$ 項から公比を $2$ 回かけると第 $4$ 項)。この関係で $r$ を求め、 $a_{2} = a_{1} r$ から初項を出す。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 未知数は初項 $a$ と公比 $r$ の $2$ つ。条件も $2$ つ。連立方程式が立つ。

一般項 $a_{n} = a r^{n - 1}$ に、条件を入れる。

$a_{2} = a r = 6$ $a_{4} = a r^{3} = 54$

この連立を解く。うまい手は「割る」ことだ。 下の式を上の式で割る。

$\frac{a r ^{3}}{a r} = \frac{54}{6} ⟹ r^{2} = 9$

$a$ が約分で消えた! これが割り算の狙いである。

$r = \pm 3$

問題文に「公比は正」とあるので

$r = 3$

$a r = 6$ に戻して $a$ を求める。

$3 a = 6 ⟹ a = 2$

初項 $2$ 、公比 $3$ 。

等比数列の連立は「割る」 — 足したり引いたりせず、割って文字を消すのが定石だ。

公式等比数列は

a_{m + k} = a_{m} \cdot r^{k}

(

m

項から

k

回かける)

① 公比を求める。 第 $2$ 項から $2$ 回かけると第 $4$ 項なので $a_{4} = a_{2} r^{2}$ 。

$r^{2} = \frac{a _{4}}{a _{2}} = \frac{54}{6} = 9$

公比は正なので $r = 3$ 。

② 初項を求める。 $a_{2} = a_{1} r = 6$ 。

$a_{1} \times 3 = 6 \Rightarrow a_{1} = 2$

まとめ:離れた $2$ 項が分かれば、間の公比の累乗で結べる。 $r^{2} = 9$ から $r = \pm 3$ の $2$ つだが、条件「公比は正」で $r = 3$ に絞る。符号の指定を見落とさない。

発展 — 一歩先へ。 「公比が正」という条件がなければ、どうなるか。

$r^{2} = 9 ⟹ r = 3 または r = - 3$

$r = - 3$ の場合も調べてみよう。

$a r = 6 ⟹ a \times (- 3) = 6 ⟹ a = - 2$

数列は

$- 2, 6, - 18, 54, - 162, \dots$

符号が交互に変わる!

確かめる: $a_{2} = 6$ ✓、 $a_{4} = 54$ ✓ — 条件を満たしている。

つまり、条件を満たす等比数列は $2$ つあった。

$a = 2$ 、 $r = 3$ : $2, 6, 18, 54, \dots$ (すべて正)
$a = - 2$ 、 $r = - 3$ : $- 2, 6, - 18, 54, \dots$ (符号が交互)

問題文の「公比は正」という条件が、 $1$ つに絞ってくれていた。

この条件がなければ、 $2$ つとも答えなければならない。

「条件を見落とすと、解が増えたり減ったりする」 — 数学の答案では、条件の確認が命綱だ。

さて、公比が負の等比数列は、どんな振る舞いをするか。

$1, - 2, 4, - 8, 16, - 32, \dots (r = - 2)$

符号が交互に変わり、絶対値は増えていく — 振動しながら発散する。

$∣ r ∣ < 1$ で $r$ が負なら?

$1, - \frac{1}{2}, \frac{1}{4}, - \frac{1}{8}, \dots (r = - \frac{1}{2})$

振動しながら、 $0$ に収束する。

公比 $r$ の値による、数列の運命。

$r$ の範囲	振る舞い
$r > 1$	正のまま、無限大へ発散
$r = 1$	一定( $a, a, a, \dots$ )
$0 < r < 1$	正のまま、 $0$ に収束
$r = 0$	$a, 0, 0, 0, \dots$
$- 1 < r < 0$	振動しながら $0$ に収束
$r = - 1$	$a, - a, a, - a, \dots$ (振動、収束しない)
$r < - 1$	振動しながら発散

たった $1$ つの数 $r$ が、数列の未来を完全に決めている。

$∣ r ∣ < 1$ なら収束、 $∣ r ∣ > 1$ なら発散 — 境目は $∣ r ∣ = 1$ 。

この分類が、無限等比級数の収束条件( $∣ r ∣ < 1$ )の根拠になっている。 数IIIの極限で、この表が主役になる。

答

初項 $2$ 、公比 $3$

別解

「等比中項」を使うと、もっと鮮やかに解ける。 等差数列の"中間の項"に対応する、美しい概念だ。

等比中項とは。

$a, b, c がこの順に等比数列 ⟹ b^{2} = a c$

「真ん中の項の $2$ 乗 $=$ 両隣の積」

なぜか。 公比を $r$ とすると $b = a r$ 、 $c = a r^{2}$ だから

$b^{2} = a^{2} r^{2}, a c = a \cdot a r^{2} = a^{2} r^{2} ✓$

この問題に使う。

$a_{2} = 6$ 、 $a_{3} = ?$ 、 $a_{4} = 54$ — $a_{3}$ が等比中項だ!

$a_{3}^{2} = a_{2} \times a_{4} = 6 \times 54 = 324$

$a_{3} = 324 = 18 (公比が正なので、 a_{3} も正)$

第 $3$ 項が $18$ と分かった。

公比は、隣の項の比。

$r = \frac{a _{3}}{a _{2}} = \frac{18}{6} = 3$

初項は、 $a_{2}$ を $r$ で割る。

$a_{1} = \frac{a _{2}}{r} = \frac{6}{3} = 2$

同じ答え ✓ しかも、連立方程式を解いていない。

等比中項の使いどころ。 「 $1$ つ飛ばしの $2$ 項が分かっている」ときに、間の項を"補間"できる。

$6 \times 54 = 324 = 18$ — $2$ 数の相乗平均である。

等差との対比を、しっかり押さえよう。

	等差中項	等比中項
条件	$2 b = a + c$	$b^{2} = a c$
中間の項	$b = \frac{a + c}{2}$	$b = a c$
名前	相加平均	相乗平均

「等差数列の真ん中は相加平均、等比数列の真ん中は相乗平均」

そして、この $2$ つのあいだには、有名な不等式がある。

$\frac{a + c}{2} ≧ a c (a, c > 0)$

相加相乗平均の関係!

「等差中項 $≧$ 等比中項」 と読める。

この問題で確かめよう。 $6$ と $54$ の

相加平均: $\frac{6 + 54}{2} = 30$
相乗平均: $6 \times 54 = 18$

$30 > 18 ✓$

確かに、相加平均のほうが大きい。

等号が成り立つのは、 $a = c$ のときだけ。 $6 \neq = 54$ なので、この場合は狭義の不等号( $>$ )になる ✓

数列の「中項」と、不等式の「平均」が、 $1$ つの構造で結ばれている。 問題 $11$ で、この関係をさらに掘り下げる。

ポイント

$a_{4} = a_{2} r^{2}$ ( $2$ 項離れれば $r^{2}$ )。
$r^{2} = 9$ は $r = \pm 3$ 。条件で符号を決める。

よくある間違い

$r^{2} = 9$ から $r = 3$ だけを答え、 $r = - 3$ の可能性を検討しない(この問題では「正」の条件で除外できる)
$a_{2} = a r$ を $a_{2} = a r^{2}$ としてしまう(第2項の指数は $n - 1 = 1$ )
連立を「引き算」で解こうとして、文字が消えず行き詰まる(等比では「割る」)