分数の数列の和(部分分数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{1}{k(k+1)}$ は公式で処理できる形ではない。この形の急所は、差に分解できることだ。

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

右辺を足し並べると、$-\frac{1}{2}$ と $+\frac{1}{2}$、$-\frac{1}{3}$ と $+\frac{1}{3}$ … と、となりどうしが次々に打ち消し合う。

残るのは先頭の $\frac{1}{1}$ と最後の $-\frac{1}{n+1}$ だけ。「差の形に直して、途中を消す」— 分数の和の定跡である。

① 部分分数に分ける。

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

② 和を書き並べる。 となり合う項が消える。

$$\sum _{k=1}^n(\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1})=(\frac{1}{1}-\frac{1}{2})+(\frac{1}{2}-\frac{1}{3})+\cdots +(\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1})$$

③ 残るのは両端だけ。 とちゅうの $-\frac{1}{2},+\frac{1}{2},\dots$ がすべて打ち消し合う。

$$=1-\frac{1}{n+1}=\frac{n}{n+1}$$

まとめ:分数の数列の和は「部分分数に分けて打ち消し合わせる」。差の形 $\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$ に直せば、両端だけ残る。この telescoping(望遠鏡)がカギだ。

発展 — 一歩先へ。 $S_n=1-\frac{1}{n+1}$ と書くと、$n$ を大きくすれば $S_n$ が $1$ に近づくことが見える。無限に足しても $1$ を超えない — 数IIIで学ぶ「無限級数の収束」の、最初の実例がこの数列だ。

途中が消える和は「望遠鏡和」と呼ばれる(伸ばした望遠鏡が縮むように、長い式が両端だけになる)。$\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ でも、分母の差が $2$ や $3$ でも、同じ発想が通用する — 「差の形を作れないか」は分数の和を見たら最初に試す問いだ。

別解

部分分数を知らなくても、小さい $n$ で実験して法則を見抜く道がある。

$$S_1=\frac{1}{2},S_2=\frac{1}{2}+\frac{1}{6}=\frac{2}{3},S_3=\frac{2}{3}+\frac{1}{12}=\frac{3}{4}$$

$\frac{1}{2},\frac{2}{3},\frac{3}{4}$ — 分子は番号、分母は番号 $+1$。$S_n=\frac{n}{n+1}$ と予想できる。

予想は数学的帰納法で確定する。$S_n=\frac{n}{n+1}$ が正しいとして、次の項を足すと

$$S_{n+1}=\frac{n}{n+1}+\frac{1}{(n+1)(n+2)}=\frac{n(n+2)+1}{(n+1)(n+2)}=\frac{(n+1{)}^2}{(n+1)(n+2)}=\frac{n+1}{n+2}$$

分子に $(n+1{)}^2$ が現れて約分が起きる — 予想の形が次の番号でも保たれた。$S_1=\frac{1}{2}$ も合っているから、すべての $n$ で成立する。

「実験 → 予想 → 帰納法」は、うまい変形を思いつけないときの正攻法。入試でも部分分数が見えない和はこのルートで戦える。