平方の逆数の差による和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}$。分子 $2k+1$ に注目する。

$2k+1$ は $(k+1{)}^2-k^2$ に等しい($(k+1{)}^2=k^2+2k+1$ だから)。

これで分子を分母に「割り込ませる」と、$\frac{(k+1{)}^2-k^2}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}$。

見事に差の形。telescoping で両端だけ残る。

① 差の形にする。 分子 $2k+1=(k+1{)}^2-k^2$ だから

$$\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{(k+1{)}^2-k^2}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}$$

② 和をとる(telescoping)。 $c_k=\frac{1}{k^2}$ とおくと、和は $\sum _{k=1}^n(c_k-c_{k+1})$。隣どうしが消え、両端だけ残る。

$$\sum _{k=1}^n\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}=c_1-c_{n+1}=\frac{1}{1^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2}=1-\frac{1}{(n+1{)}^2}$$

まとめ:分子が「連続する平方の差 $(k+1{)}^2-k^2$」になっているのを見抜くのがカギ。すると分数が $\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}$ の差になり telescoping。残るのは両端 $1$ と $\frac{1}{(n+1{)}^2}$。

発展 — 一歩先へ。 $\sum \left(\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}\right)=1-\frac{1}{(n+1{)}^2}\to 1$ は、$\frac{1}{k^2}$ という「隣どうしの差」の総和。一方 $\sum _{k=1}^{\infty }\frac{1}{k^2}=\frac{{\pi }^2}{6}$(バーゼル問題)は別物で、こちらは telescoping しない。差の形になるかどうかで、和の求めやすさが天と地ほど変わる。

別解

別解 — 全部の部分分数を書いて確かめる(仕組みが見えるルート)。 分子を細工せず、まっさらに部分分数分解しても、$\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}$ が出ることを確かめられる。

$$\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{A}{k}+\frac{B}{k^2}+\frac{C}{k+1}+\frac{D}{(k+1{)}^2}$$

とおいて通分・係数比較すると、$B=1$、$D=-1$、そして $A=C=0$。$\frac{1}{k}$ と $\frac{1}{k+1}$ の項は消える。残るのは

$$\frac{2k+1}{k^2(k+1{)}^2}=\frac{1}{k^2}-\frac{1}{(k+1{)}^2}.$$

これを $k=1$ から $n$ まで足すと telescoping で $\frac{1}{1^2}-\frac{1}{(n+1{)}^2}=1-\frac{1}{(n+1{)}^2}$。分子 $2k+1=(k+1{)}^2-k^2$ に気づく本解と同じ。$\frac{1}{k}$ 型の項が現れないのは、$2k+1$ が $2$ 乗の差にぴったりはまるおかげ。$n\to \infty$ で $1$ に収束する。