等比数列の和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 等比数列の和には、専用の公式がある。

$$S_n=\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}(r\ne 1)$$

代入する。 初項 $a_1=2$、公比 $r=3$、項数 $n=5$。

$$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}=\frac{2(243-1)}{2}=\frac{2\times 242}{2}=242$$

指数は、項数 $n$ そのもの($n-1$ ではない!)。一般項では $r^{n-1}$ だったが、和の公式では $r^n$ — ここが紛らわしい。

検算しよう。実際に $5$ 項を足してみる。

$$2+6+18+54+162=242✓$$

公式と一致した。

$r=1$ のときは、この公式が使えない(分母が $0$ になる)。そのときは、全部同じ数なので $S_n=n{a}_1$ である。

① 公式に代入する。 $a_1=2$、$r=3$、$n=5$。

$$S_5=\frac{2(3^5-1)}{3-1}$$

② 計算する。 $3^5=243$。

$$=\frac{2(243-1)}{2}=\frac{2\times 242}{2}=242$$

まとめ:等比数列の和は $\frac{a_1(r^n-1)}{r-1}$。$r>1$ ならこの形、$r<1$ なら $\frac{a_1(1-r^n)}{1-r}$ と符号をそろえると計算しやすい。$r=1$ のときは別扱い(和 $=n{a}_1$)。

発展 — 一歩先へ。 等比数列の和で、項数を無限にすると、どうなるか。

$$S_{\infty }=a+ar+a{r}^2+a{r}^3+\cdots$$

公比 $r$ の大きさによって、運命が分かれる。

$|r|\geqq 1$ のとき(この問題の $r=3$ など): 無限大に発散する。 和は存在しない。

$|r|<1$ のとき: 有限の値に収束する!

$$S_{\infty }=\frac{a}{1-r}$$

無限個の数を足したのに、答えが有限。

例: $\frac{1}{2}+\frac{1}{4}+\frac{1}{8}+\frac{1}{16}+\cdots$

$$S_{\infty }=\frac{\frac{1}{2}}{1-\frac{1}{2}}=\frac{\frac{1}{2}}{\frac{1}{2}}=1$$

無限個の分数を足すと、ちょうど $1$。

この事実が、ゼノンのパラドックスを解決する。

「アキレスと亀」($2500$ 年前、ゼノンの提出した難問)

アキレス(俊足)が、$10$ m 先の亀を追いかける。アキレスが $10$ m 進むと、亀は $1$ m 進んでいる。アキレスがその $1$ m を進むと、亀は $0.1$ m 進んでいる $\dots$

「追いつくには無限回の"追いかけ"が必要だから、永遠に追いつけない!」

しかし、実際には追いつく。なぜか。

各段階の"時間"を足してみよう(アキレスの速さを $10$ m/秒、亀を $1$ m/秒とする)。

$$1+0.1+0.01+0.001+\cdots (\text{秒})$$

これは公比 $0.1$ の無限等比級数!

$$S_{\infty }=\frac{1}{1-0.1}=\frac{1}{0.9}=\frac{10}{9}\approx 1.11\text{秒}$$

無限回の"追いかけ"の合計時間は、たった $1.11$ 秒。

「無限回の操作」が、「無限の時間」を意味するわけではない。 — これがパラドックスの解決だ。

無限個の数を足しても、有限になることがある。

この事実を人類が厳密に理解するのに、$2000$ 年以上かかった。 極限の概念が確立したのは $19$ 世紀である。

あなたが $\frac{a}{1-r}$ という公式を使うとき、$2500$ 年の哲学的難問が、$1$ 行の計算で解けている。

別解

この公式は、「ずらして引く」という美しいトリックで導かれる。 等差数列で「逆順に足した」のと、対をなす発想だ。

公式の導出: $S$ と $rS$ を引き算する。

$S$ を書く。

$$S=2+6+18+54+162$$

$3$ 倍する($=rS$)。

$$3S=6+18+54+162+486$$

縦にそろえて、引き算する。

$$\begin{array}{rcccccc}3S& =& & 6+18+54+162+486& & & \\ -S& =& -(2+6+18+54+162)& & & & \\ 2S& =& -2& & & & +486\end{array}$$

真ん中の項が、ごっそり消えた!

$$2S=486-2=484$$

$$S=242✓$$

「ずらして引くと、中身が打ち消し合う」 — これが等比数列の和の秘密だ。

一般に

$$S_n=a+ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}$$ $$r{S}_n=ar+a{r}^2+\cdots +a{r}^{n-1}+a{r}^n$$

引くと

$$r{S}_n-S_n=a{r}^n-a$$

$$S_n(r-1)=a(r^n-1)$$

$$S_n=\frac{a(r^n-1)}{r-1}✓$$

公式が導けた。

この「ずらして引く」技は、望遠鏡のように途中が畳まれるので、望遠鏡和(telescoping)とも呼ばれる。

等差と等比の、和の導出を比べてみよう。

どちらも「$1$ つの工夫で、$n$ 個の足し算が消える」。

そして、この「ずらして引く」技は、応用範囲が広い。

(等差)$\times$(等比)の形の和

$$T=1\cdot 2+2\cdot 2^2+3\cdot 2^3+\cdots +n\cdot 2^n$$

この和も、$2T$ を作ってずらして引けば求まる(数Bの標準問題)。

$\frac{1}{k(k+1)}$ の和

$$\frac{1}{k(k+1)}=\frac{1}{k}-\frac{1}{k+1}$$

部分分数に分けると、隣どうしが打ち消し合う — これも望遠鏡和だ。

「打ち消し合う形を作る」 — 数列の和を求める、最も強力な戦略である。

公式を暗記するより、この"導出の技"を身につけるほうが、はるかに応用が利く。