分数の数列の和(係数つき)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 分母が積 $(2k-1)(2k+1)$ — 基本の $\frac{1}{k(k+1)}$ と同じく、差の形に分解して途中を消す作戦だ。

ちがいは分母どうしの差。$(2k+1)-(2k-1)=2$ なので、そのまま引くと分子に $2$ が出てしまう。

$$\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1}=\frac{2}{(2k-1)(2k+1)}$$

だから両辺を $2$ で割り、$\frac{1}{2}$ を係数として前に出して調整する。「分解 → 係数調整 → 打ち消し」の流れである。

① 部分分数に分ける。 差 $(2k+1)-(2k-1)=2$ が前に出る。

$$\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}=\frac{1}{2}(\frac{1}{2k-1}-\frac{1}{2k+1})$$

② 和をとって打ち消し合わせる。

$$\sum _{k=1}^n=\frac{1}{2}\left\{\right(1-\frac{1}{3})+(\frac{1}{3}-\frac{1}{5})+\cdots +(\frac{1}{2n-1}-\frac{1}{2n+1}\left)\right\}$$

③ 両端だけ残す。

$$=\frac{1}{2}(1-\frac{1}{2n+1})=\frac{1}{2}\cdot \frac{2n}{2n+1}=\frac{n}{2n+1}$$

まとめ:分母の差が $2$ のときは、部分分数に分けると $\frac{1}{2}$ が前に出る。この係数を忘れると答えが $2$ 倍ずれる。あとは打ち消し合いで両端だけ残す。

発展 — 一歩先へ。 $S_n=\frac{n}{2n+1}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{2n+1}\right)$ は、$n$ を限りなく大きくすると $\frac{1}{2}$ に近づく。$\frac{1}{1\cdot 3}+\frac{1}{3\cdot 5}+\frac{1}{5\cdot 7}+\cdots =\frac{1}{2}$ — 無限に足してちょうど $\frac{1}{2}$ という、きれいな無限級数になっている。

分母の差の逆数が前に出る、という別解の一般形は、分母が $3$ 因数($\frac{1}{k(k+1)(k+2)}$ 型)になっても拡張できる。そこでは「隣り合う $2$ 因数の積」の差に分解する — 望遠鏡和の設計は、いつも「差を作る」の一点に尽きる。

別解

係数 $\frac{1}{2}$ がどこから来るのか、一般の形で見通しておくと迷わなくなる。

分母が $2$ 数 $A,B$($A<B$)の積なら、いつでも

$$\frac{1}{AB}=\frac{1}{B-A}\left(\frac{1}{A}-\frac{1}{B}\right)$$

が成り立つ(右辺を通分すると分子が $\frac{B-A}{B-A}=1$ に戻る)。前に出る係数は、分母の差の逆数だ。

• $\frac{1}{k(k+1)}$: 差 $1$ → 係数 $1$(そのまま)
• $\frac{1}{(2k-1)(2k+1)}$: 差 $2$ → 係数 $\frac{1}{2}$
• $\frac{1}{k(k+2)}$: 差 $2$ → 係数 $\frac{1}{2}$

この $1$ 行を知っていれば、どんな積の分母が来ても分解を暗算で書き下せる。検算は $k=1$ の項 — $\frac{1}{1\cdot 3}=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{3}\right)=\frac{1}{3}$ で一致 — と、$S_1=\frac{1}{3}$ が公式 $\frac{n}{2n+1}$ の $n=1$ と合うことで済む。