数学B / 数列

等差数列の一般項

★ 基礎等差数列

問題

初項 $3$ 、公差 $4$ の等差数列の一般項 $a_{n}$ を求めよ。また、第 $10$ 項を求めよ。

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等差数列の一般項は『初項に、公差を何回足したか』で決まる。第 $n$ 項までに公差を何回足すかを考えて式にしよう。

解答・解説

方針

等差数列は「初項に公差を $(n - 1)$ 回足す」。公式 $a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ に $a_{1} = 3$ 、 $d = 4$ を入れて整理する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 等差数列は「同じ数を足し続ける」数列だ。

$3, 7, 11, 15, 19, \dots (4 ずつ増える)$

第 $n$ 項を求めるには、「初項から何回足したか」を数える。

第 $1$ 項: $3$ ( $0$ 回足す)
第 $2$ 項: $3 + 4$ ( $1$ 回)
第 $3$ 項: $3 + 4 + 4$ ( $2$ 回)
第 $n$ 項: $3 + 4 \times (n - 1)$ 回

$a_{n} = 3 + 4 (n - 1) = 4 n - 1$

急所は $(n - 1)$ 。 第 $n$ 項までに足す回数は、 $n$ 回ではなく $n - 1$ 回だ。

第 $10$ 項。

$a_{10} = 4 \times 10 - 1 = 39$

「初項 $+$ 公差 $\times$ ( $n - 1$ )」 — この $1$ 本を覚える。

公式等差数列の一般項

a_{n} = a_{1} + (n - 1) d

(

a_{1}

は初項、

d

は公差)

① 公式に代入する。 $a_{1} = 3$ 、 $d = 4$ 。

$a_{n} = 3 + (n - 1) \times 4$

② 展開して整理する。

$a_{n} = 3 + 4 n - 4 = 4 n - 1$

③ 第 $10$ 項を求める。 $n = 10$ を代入。

$a_{10} = 4 \times 10 - 1 = 39$

まとめ:等差数列は「初項 + 公差 ×(何個進んだか)」。 $(n - 1)$ が「初項から $n - 1$ 歩進む」を表す。 $n = 1$ で $a_{1}$ に戻るか確かめると安心だ。

発展 — 一歩先へ。 数列を「関数」として見ると、数学の景色が一段広がる。

数列 ${a_{n}}$ とは、「自然数 $n$ に、数 $a_{n}$ を対応させる関数」である。

$a : N \to R$

定義域が「自然数だけ」の関数 — それが数列の正体だ。

この見方の帰結。

$1$ : 数列も、グラフが描ける。 ただし、点が飛び飛びに並ぶ(連続な曲線にはならない)。

$2$ : 数列にも「極限」がある。

$n \to \infty lim a_{n}$

関数の $lim_{x \to \infty} f (x)$ と、まったく同じ発想だ(数IIIで学ぶ)。

$3$ : 数列の"差"は、関数の"微分"に対応する。

$Δ a_{n} = a_{n + 1} - a_{n} ⟷ f^{'} (x)$

等差数列は、差が一定 → 微分すると定数( $1$ 次関数)

$4$ : 数列の"和"は、関数の"積分"に対応する。

$k = 1 \sum n a_{k} ⟷ \int_{0}^{x} f (t) d t$

この対応は「離散」と「連続」の対応であり、差分学という分野を作っている。

連続(関数)	離散(数列)
微分 $f^{'} (x)$	階差 $a_{n + 1} - a_{n}$
積分 $\int f$	和 $\sum a_{k}$
微分方程式	漸化式
微積分学の基本定理	「和の階差は元に戻る」

漸化式は、微分方程式の"離散版"である。

そして、コンピュータで微分方程式を解くとき、実際には「漸化式に直して」計算する(数値計算法)。

連続を、離散で近似する — スーパーコンピュータの気象予報も、この方法で動いている。

「数列は、関数の飛び飛び版」 — この視点を持てば、数列と微積分が別々の単元ではなくなる。

答

$a_{n} = 4 n - 1$ 、第 $10$ 項は $39$

別解

等差数列の一般項 $a_{n} = 4 n - 1$ は、 $n$ の $1$ 次式だ。 この事実に気づくと、数列が「直線」に見えてくる。

表を書いて、確かめる。

$n$	$1$	$2$	$3$	$4$	$5$	$\dots$	$10$
$a_{n}$	$3$	$7$	$11$	$15$	$19$	$\dots$	$39$

$a_{10} = 39$ ✓ 公式と一致した。

この点 $(n, a_{n})$ を、座標平面にプロットしてみよう。

$(1, 3), (2, 7), (3, 11), (4, 15), \dots$

すべて、 $1$ 本の直線の上に並ぶ!

$y = 4 x - 1$

$等差数列 = 直線上の、等間隔の点$

「公差」は「傾き」だ。

$(公差) = 4 = (直線の傾き)$

この見方をすると、公式が"当たり前"になる。

傾き $4$ で、 $x = 1$ のとき $y = 3$ を通る直線は?

$y - 3 = 4 (x - 1) ⟹ y = 4 x - 1$

数IIで習った「 $1$ 点と傾きの直線」の公式 — それが等差数列の一般項の公式そのものだった。

$a_{n} = a_{1} + d (n - 1) ⟺ y - y_{1} = m (x - x_{1})$

完全に同じ形。

「 $(n - 1)$ って何?」という疑問も、これで解ける。 直線の式で $(x - 1)$ と書くのと同じ — 基準点( $n = 1$ )からのズレを測っているのだ。

この視点の便利さ。

「等差数列で、第 $3$ 項が $11$ 、第 $7$ 項が $27$ 。一般項は?」

直線として考える。 $2$ 点 $(3, 11)$ 、 $(7, 27)$ を通る直線だ。

傾き(公差)は

$d = \frac{27 - 11}{7 - 3} = \frac{16}{4} = 4$

「 $2$ 点間の傾き」の公式そのもの!

$a_{n} = 11 + 4 (n - 3) = 4 n - 1$

公式を暗記していなくても、直線の知識で解けた。

数列を「点の列」として見ると、多くのことが見えてくる。

等差数列 → 直線( $1$ 次関数)
等比数列 → 指数関数の点列(次の問題!)
階差数列が等差 → $2$ 次関数

「数列は、飛び飛びの関数である」 — この視点は、数列と関数を結ぶ橋になる。

そして、この橋は数IIIの極限へ続く。 $n \to \infty$ での数列の振る舞いは、関数の $x \to \infty$ での振る舞いと、同じように考えられるのだ。

ポイント

$a_{n} = a_{1} + (n - 1) d$ 。 $(n - 1)$ に注意( $n$ ではない)。
$n = 1$ を入れて初項に戻るか確認。

よくある間違い

$a_{n} = 3 + 4 n$ としてしまう( $(n - 1)$ を掛けるのが正しい。 $n = 1$ で初項3になるか確認する)
第10項を求めるとき、 $n = 10$ を代入し忘れて一般項のまま答える
公差を「隣の項との差」でなく「初項との差」と誤解する