群数列(自然数を群に分ける)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 群に分けてあるが、まず「もとの数列は何か」を見る。$1,2,3,4,5,\dots$ と、自然数がそのまま並んでいるだけだ。

だから第 $100$ 項の「値」は、$100$ 番目の自然数、すなわち $100$。群分けは値を変えない。

とはいえ「第 $100$ 項が第何群の何番目か」も押さえておく。第 $n$ 群までの項数は $1+2+\cdots +n=\frac{n(n+1)}{2}$。

この三角数と $100$ を比べて、$100$ 項目の位置を特定する。

① 第 $100$ 項が第何群か。 第 $n$ 群までの総項数は $\frac{n(n+1)}{2}$。

$$\frac{13\cdot 14}{2}=91,\frac{14\cdot 15}{2}=105$$

より、$91<100\le 105$。よって第 $100$ 項は第 $14$ 群に含まれ、第 $13$ 群まで($91$ 項)の次だから第 $14$ 群の $100-91=9$ 番目。

② 値を求める。 数列は自然数を順に並べたものなので、第 $100$ 項の値は「$100$ 番目の自然数」= $100$。

(確認:第 $14$ 群の最初の数は $92$、その $9$ 番目は $92+8=100$。一致する。)

まとめ:群数列は「第 $n$ 群までの総項数 $\frac{n(n+1)}{2}$」で位置を特定。$100$ 項目は第 $14$ 群の $9$ 番目。もとが自然数の並びなので値は $100$ だが、第 $n$ 群の最初の数(=前群までの総数 $+1$)から数える方法でも確認できる。

発展 — 一歩先へ。 三角数 $\frac{n(n+1)}{2}$ は「第 $n$ 群までの項数」として何度も現れる。群数列では「通し番号 $\leftrightarrow$ 群番号・群内位置」の変換が要。通し番号 $N$ が第 $g$ 群 $⟺\frac{(g-1)g}{2}<N\le \frac{g(g+1)}{2}$。この不等式を解く($g\approx \sqrt{2N}$)のが群数列の共通の型だ。

別解

別解 — 「値 $=$ 位置」の落とし穴を見抜く(苦手な人向けの整理ルート)。 この問題の本質は、群分けが値を変えないこと。並んでいる数は $1,2,3,4,5,\dots$ で、$k$ 番目の項の値はただの $k$。

だから第 $100$ 項の値は、考えるまでもなく $100$。群の構造は「どこで区切るか」を言っているだけで、数そのものは自然数の順番のまま。

念のため位置も確かめる。第 $n$ 群の最後の項は通し番号 $\frac{n(n+1)}{2}$(三角数)。$\frac{13\cdot 14}{2}=91$、$\frac{14\cdot 15}{2}=105$ だから、$91<100\le 105$ で第 $100$ 項は第 $14$ 群。群の中では $100-91=9$ 番目。

群番号や群内位置を細かく求める本解と同じ。ここでの罠は「群に分けると値が変わる」と思い込むこと。値は自然数のまま、と気づけば第 $100$ 項 $=100$ は即答できる。