平方の交代和

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $1^2-2^2+3^2-4^2+\cdots$ と符号が交互。$n$ は偶数。

符号が交互なら、$2$ 項ずつペアにするのが定石。$(2k-1{)}^2-(2k{)}^2$ の組を作る。

各ペアは $a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ で展開できる。$(2k-1{)}^2-(2k{)}^2=(-1)(4k-1)=-(4k-1)$。

$n=2m$ とすると $m$ 組。各ペアの値 $-(4k-1)$ を $k=1$ から $m$ まで足す。

① ペアにして因数分解する。 $n=2m$ とおく。第 $k$ 組は $(2k-1{)}^2-(2k{)}^2$。

$$(2k-1{)}^2-(2k{)}^2=\{(2k-1)+2k\}\{(2k-1)-2k\}=(4k-1)(-1)=-(4k-1)$$

② $m$ 組の和をとる。

$$\sum _{k=1}^m\{-(4k-1)\}=-\left(4\sum _{k=1}^{m}k-\sum _{k=1}^{m}1\right)=-\left(4\cdot \frac{m(m+1)}{2}-m\right)=-(2m^2+2m-m)=-(2m^2+m)$$

③ $n$ に戻す。 $m=\frac{n}{2}$ を代入する。$2m^2+m=2\cdot \frac{n^2}{4}+\frac{n}{2}=\frac{n^2}{2}+\frac{n}{2}=\frac{n(n+1)}{2}$。よって

$$1^2-2^2+\cdots +(-1{)}^{n-1}{n}^2=-\frac{n(n+1)}{2}$$

まとめ:交代和は「$2$ 項ずつペア」。各ペア $(2k-1{)}^2-(2k{)}^2$ を和と差の積で $-(4k-1)$ に。$m=\frac{n}{2}$ 組の和をとって $n$ に戻すと $-\frac{n(n+1)}{2}$。$n$ が偶数だからペアが余らない。

発展 — 一歩先へ。 平方の交代和が自然数の和 $-\frac{n(n+1)}{2}$ に化けるのは、$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ で隣り合う数だと差 $a-b=-1$ になり、和 $a+b$ だけ残るから。$n$ が奇数のときは最後の項が余り、答えが $+\frac{n(n+1)}{2}$ に変わる。符号のパターンと項数の偶奇で結果が反転する典型だ。

別解

別解 — 各ペアが「$2$ 数の和のマイナス」になる(得意な人向けの視点)。 ペア $(2k-1{)}^2-(2k{)}^2$ を因数分解すると

$$(2k-1{)}^2-(2k{)}^2=\{(2k-1)-(2k)\}\{(2k-1)+(2k)\}=(-1)(4k-1)=-(4k-1).$$

ここで $4k-1=(2k-1)+(2k)$ に注目する。つまり各ペアは「そのペアに含まれる $2$ つの数の和」にマイナスをつけたもの。

すると和全体は、$1$ から $n$ までのすべての数の和にマイナスをつけたものになる。

$$1^2-2^2+\cdots -n^2=-(1+2+\cdots +n)=-\frac{n(n+1)}{2}.$$

$-(4k-1)$ を $k$ について足す本解と同じ。「平方の交代和が、ただの自然数の和のマイナスに化ける」のがこの問題の面白さ。$a^2-b^2=(a-b)(a+b)$ で、隣り合う数なら $a-b=-1$ だから、和 $a+b$ だけが残る。