和 Sₙ から一般項

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 和 $S_n$ から個々の項 $a_n$ を取り出すには、「今までの合計」から「$1$ つ前までの合計」を引けばよい。

$$a_n=S_n-S_{n-1}(n\geqq 2)$$

引き算で最後の $1$ 項だけが残る、という理屈だ。

ただし $S_{n-1}$ は $n\geqq 2$ でしか意味を持たない。初項は $a_1=S_1$ で別に求め、引き算で出した一般項の式に $n=1$ を入れて一致するか確かめる — 一致すればまとめて $1$ 本の式にできる。

① $n\geqq 2$ で $a_n=S_n-S_{n-1}$ を計算する。

$$a_n=(n^2+2n)-\{(n-1{)}^2+2(n-1)\}$$

$(n-1{)}^2+2(n-1)=n^2-2n+1+2n-2=n^2-1$ なので

$$a_n=(n^2+2n)-(n^2-1)=2n+1$$

② 初項を確認する。 $a_1=S_1=1^2+2\cdot 1=3$。一方 $2n+1$ に $n=1$ を入れると $3$。一致するので、$a_n=2n+1$ はすべての $n$ で成り立つ。

$$a_n=2n+1$$

まとめ:和から一般項は「$a_n=S_n-S_{n-1}$」。ただしこれは $n\geqq 2$ でしか使えないので、$a_1=S_1$ を別に出して一般項に合うか確認する。合わないときは $a_1$ だけ場合分けが必要になる。

発展 — 一歩先へ。 $a_n=S_n-S_{n-1}$ は「累積から瞬間を取り出す」操作で、微分の離散版だ。逆に $S_n=\sum a_k$ は積分の離散版。和と項の関係は、積分と微分の関係の縮図になっている — $S_n$ が $2$ 次式なら $a_n$ が $1$ 次式(等差)になるのも、$2$ 次関数の微分が $1$ 次関数になるのと同じ理屈だ。

$S_n$ に定数項 $c$ が付くと初項だけ $c$ ずれて「$n=1$ 別扱い」の答えになり、$S_n$ が $r^n$ 型なら等比数列が現れる。$S_n$ の形 → 数列の型、という辞書を持っておくと、この単元の見通しが一気によくなる。

別解

$S_n$ の式の形から、数列の正体を先に見抜く目がある。

等差数列の和の公式を展開してみると

$$S_n=\frac{n\{2a_1+(n-1)d\}}{2}=\frac{d}{2}{n}^2+\left(a_1-\frac{d}{2}\right)n$$

つまり「等差数列の和は、定数項のない $n$ の $2$ 次式」になる。逆に、$S_n=n^2+2n$ は定数項のない $2$ 次式だから、この数列は等差だと即断できる。

係数を照合すると

• $n^2$ の係数: $\frac{d}{2}=1$ より $d=2$
• $n$ の係数: $a_1-\frac{d}{2}=2$ より $a_1=3$

よって $a_n=3+(n-1)\cdot 2=2n+1$。引き算ルートと同じ答えだ。

検算にも強い。もし $S_n$ に定数項があれば($S_n=n^2+2n+1$ など)、初項だけ等差の列から外れる — 引き算ルートで「$n=1$ が一致しない」と出る問題は、まさにこの型だと形から予告できる。