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数学III

微分法の応用 グラフ・最大最小・不等式への応用

接線・法線、平均値の定理、増減と凹凸、グラフの概形、最大・最小、方程式・不等式への応用を扱います。

全 56 問(★基礎 12・★★標準 12・★★★応用 8・★★★★難関 8・実戦編 8・最難関編 8)

★ 基礎の問題12問

教科書レベル。定義・公式の確認と基本操作

  1. 接線の方程式(指数関数)
  2. 接線の方程式(対数関数)
  3. 接線の方程式(三角関数)
  4. 極値(x e^{-x})
  5. 極値(x + 1/x)
  6. 変曲点
  7. 最大・最小(x e^{-x})
  8. 凹凸の判定
  9. 速度と加速度
  10. 接線の傾き(微分係数)
  11. 極値(log x / x)
  12. 平均値の定理

★★ 標準の問題12問

定期テストレベル。典型パターンの運用

  1. 法線の方程式
  2. 極値((x-1)eˣ)
  3. 変曲点(eˉˣ²)
  4. グラフの概形(漸近線つき)
  5. 最大・最小(x²eˉˣ)
  6. 不等式の証明(微分)
  7. 速度と加速度(3次)
  8. 原点を通る接線
  9. 第2次導関数による極値判定
  10. 最大・最小(三角関数)
  11. グラフの概形(log x / x)
  12. 平均値の定理と不等式

★★★ 応用の問題8問

入試標準レベル。複数の考え方を組み合わせる

  1. グラフの概形(分数関数)
  2. 曲線上の点までの最短距離
  3. 方程式の実数解の個数
  4. 不等式の証明(2段階)
  5. 曲線外の点から引いた接線
  6. 媒介変数と速度(円運動)
  7. 変曲点と点対称
  8. 最大の面積(文章題)

★★★★ 難関の問題8問

旧帝大・早慶レベル。一部の単元に用意した挑戦枠

  1. 原点から曲線に引いた接線
  2. 極値(指数と2乗の積)
  3. 変曲点(凹凸の変わり目)
  4. log x / x の最大値
  5. 方程式の実数解の個数
  6. 不等式の証明(微分の利用)
  7. 平均値の定理
  8. 直線上の運動(速度・加速度)

実戦編の問題8問

難関大の総合問題。複数の単元を融合した単元横断の演習

  1. ウォリスの積分(漸化式と極限の融合)
  2. 積分から生まれる交代級数(積分・数列・極限の融合)
  3. 指数と2次曲線の交点の個数(微分で最小値を調べる)
  4. 階乗の n 乗根の漸近(区分求積と対数の融合)
  5. 曲線 xeˣ に引ける接線の本数(微分と2次方程式の融合)
  6. 対数を含む不定形の極限(1次近似の把握)
  7. 曲線に最も近い比例直線(定積分と最小値の融合)
  8. 漸化式で定まる数列の漸近(数列と極限の融合)

最難関編の問題8問

東大・京大の最難関レベル。気づきにくい発想や、何段階もの議論が必要な問題

  1. e^π と π^e の大小
  2. (1+1/x)^x が増加すること
  3. 接線型不等式から相加相乗平均へ
  4. 対数平均と幾何平均の比較
  5. sinx/x の単調性とジョルダンの不等式
  6. 減衰振動の極大値の列
  7. x log x の極限と 0 の 0 乗
  8. 曲線 y=eˣ と直線 y=x の最短距離

微分法の応用の解説(つまずきやすい点と学習の順序)

この単元の内容を使う入試過去問