微分法の応用 — グラフ・最大最小・不等式への応用

曲線 $y=e^x$ 上の点 $(0,1)$ における接線の方程式を求めよ。

曲線 $y=\log x$ 上の点 $(1,0)$ における接線の方程式を求めよ。

曲線 $y=\sin x$ 上の原点 $(0,0)$ における接線の方程式を求めよ。

関数 $y=x{e}^{-x}$ の極値を求めよ。

関数 $y=x+\frac{1}{x}$($x>0$)の極値を求めよ。

関数 $y=x^3-3x$ の変曲点を求めよ。

$0\leqq x\leqq 2$ における関数 $y=x{e}^{-x}$ の最大値を求めよ。

関数 $y=x^3$ について、下に凸となる $x$ の範囲と、上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。

数直線上を動く点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ での座標が $x=t^2-4t$ で表される。時刻 $t$ での速度 $v$ と加速度 $\alpha$ を求めよ。また、速度が $0$ になる時刻を求めよ。

曲線 $y=x^2$ 上の点 $(1,1)$ における接線の方程式を求めよ。

関数 $y=\frac{\log x}{x}$($x>0$)の極値を求めよ。

関数 $f(x)=x^2$ と区間 $[1,3]$ について、平均値の定理 $\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=f^{\prime }(c)$($1<c<3$)を満たす $c$ を求めよ。

曲線 $y=e^x$ 上の点 $(0,1)$ における法線の方程式を求めよ。

関数 $y=(x-1)e^x$ の極値を求めよ。

関数 $y=e^{-x^2}$ の変曲点の $x$ 座標を求めよ。

関数 $y=x+\frac{1}{x}$ の極値と漸近線を求め、グラフの概形を述べよ。

$x\geqq 0$ における関数 $y=x^2{e}^{-x}$ の最大値を求めよ。

$x\geqq 0$ のとき、不等式 $e^x\geqq 1+x$ が成り立つことを示せ。

数直線上を動く点の座標が $x=t^3-3t$ で表される。速度が $0$ になる時刻をすべて求め、そのときの加速度を求めよ。

曲線 $y=\log x$ の接線のうち、原点 $(0,0)$ を通るものの方程式を求めよ。

関数 $y=x^3-3x$ の極値を、第 $2$ 次導関数を用いて判定せよ。

$0\leqq x\leqq 2\pi$ における関数 $y=x-2\sin x$ の極値をとる $x$ を求めよ。

関数 $y=\frac{\log x}{x}$($x>0$)の極値と、$x\to \infty$ での様子を調べよ。

平均値の定理を用いて、$1<b$ のとき $\frac{b-1}{b}<\log b<b-1$ が成り立つことの、右側の不等式 $\log b<b-1$ を示せ。

関数 $y=\frac{x}{x^2+1}$ の極値、変曲点、および $x\to \infty$ での漸近線を調べよ。

放物線 $y=x^2$ 上の点で、点 $\mathrm{A}(3,0)$ に最も近い点の $x$ 座標を求めよ(方程式は立てるところまででよい)。

$a$ を正の定数とする。方程式 $\frac{\log x}{x}=a$ の異なる実数解の個数を、$a$ の値によって調べよ。

$x\geqq 0$ のとき、不等式 $e^x\geqq 1+x+\frac{x^2}{2}$ が成り立つことを示せ。

点 $(0,-1)$ から曲線 $y=x^2$ に引いた接線の方程式をすべて求めよ。

座標平面上を動く点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ での位置が $x=\cos t$、$y=\sin t$ で表される。速度ベクトルの大きさ(速さ)を求めよ。

関数 $y=x^3-3x^2+2$ の変曲点を求め、グラフがその点に関して点対称であることを述べよ。

周の長さが $48$ の長方形のうち、面積が最大のものの面積を求めよ。

曲線 $y=\log x$ に原点 $\mathrm{O}$ から引いた接線の方程式を求めよ。

関数 $f(x)=x^2{e}^{-x}$ の極値を求めよ。

曲線 $y=x{e}^{-x}$ の変曲点の座標を求めよ。

$x>0$ における関数 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ の最大値を求めよ。

$a$ を実数の定数とする。$x>0$ における方程式 $\frac{\log x}{x}=a$ の異なる実数解の個数を、$a$ の値によって調べよ。

$x\ge 0$ のとき、$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}$ が成り立つことを示せ。

関数 $f(x)=x^3$ に、区間 $[1,2]$ で平均値の定理を適用したときに現れる $c$($1<c<2$)の値を求めよ。

数直線上を動く点 $\mathrm{P}$ の時刻 $t$ における座標が $x=t^3-3t$ で与えられている。点 $\mathrm{P}$ の速度 $v$ と加速度 $\alpha$ を $t$ で表し、速度が $0$ になる時刻をすべて求めよ。

$n$ を $0$ 以上の整数とし、$I_n={\int }_0^{\pi /2}{\sin }^{n}xdx$ とする。

(1) $n\ge 2$ のとき $I_n=\frac{n-1}{n}{I}_{n-2}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\underset{n\to \infty }{\lim }n{I}_n{I}_{n-1}$ を求めよ。

$a_n={\int }_0^1\frac{x^n}{1+x}dx$($n=0,1,2,\dots$)とする。

(1) $a_n+a_{n-1}=\frac{1}{n}$($n\ge 1$)を示せ。

(2) $0\le a_n\le \frac{1}{n+1}$ を示し、$\sum _{k=1}^{\infty }\frac{(-1{)}^{k-1}}{k}$ を求めよ。

$a$ を正の定数とする。$x>0$ における方程式 $e^x=a{x}^2$ の実数解の個数を、$a$ の値によって分類せよ。

極限 $\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{\sqrt[n]{n!}}{n}$ を求めよ。

$a$ を実数とする。$x$ 軸上の点 $(a,0)$ から曲線 $y=x{e}^x$ に引ける接線の本数を、$a$ の値によって分類せよ。

極限 $\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x-x^2\log \left(1+\frac{1}{x}\right)\right\}$ を求めよ。ただし $\log$ は自然対数とする。

実数 $a$ に対し $J(a)={\int }_0^1(e^x-ax{)}^{2}dx$ とする。$J(a)$ を最小にする $a$ の値を求めよ。

数列 $\{a_n\}$ を $a_1=1,a_{n+1}=a_n+\frac{1}{a_n}$($n\ge 1$)で定める。$\underset{n\to \infty }{\lim }\frac{a_n}{\sqrt{n}}$ を求めよ。

$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小を比較せよ。

$x>0$ で定義された関数 $f(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^x$ は増加することを示せ。

(1) $x>0$ のとき $\log x\le x-1$ が成り立つことを示せ。また、等号が成り立つ $x$ を求めよ。

(2) $n$ を2以上の自然数、$a_1,a_2,\dots ,a_n$ を正の実数とする。(1)を用いて、不等式

$$\frac{a_1+a_2+\cdots +a_n}{n}\ge \sqrt[n]{a_1{a}_2\cdots a_n}$$

を証明せよ。

$0<a<b$ のとき、次の不等式を示せ。

$$\sqrt{ab}<\frac{b-a}{\log b-\log a}$$

(1) $0<x<\pi$ のとき、関数 $\frac{\sin x}{x}$ は減少することを示せ。

(2) $0\le x\le \frac{\pi }{2}$ のとき、不等式 $\sin x\ge \frac{2}{\pi }x$ が成り立つことを示せ。

$x\ge 0$ における関数 $f(x)=e^{-x}\sin x$ を考える。

(1) $f(x)$ が極大となる $x$ をすべて求めよ。

(2) 極大値を大きい方から順に並べた数列が等比数列であることを示し、その公比を求めよ。

(3) 極大値すべての和(無限級数の和)を求めよ。

(1) $t\ge 1$ のとき $\log t<2\sqrt{t}$ が成り立つことを示せ。

(2) $\underset{x\to +0}{\lim }x\log x=0$ を示せ。

(3) $\underset{x\to +0}{\lim }{x}^x$ を求めよ。

曲線 $y=e^x$ 上の点と直線 $y=x$ の距離の最小値を求めよ。