数学III / 微分法の応用

変曲点

★ 基礎変曲点凹凸

問題

関数 $y = x^{3} - 3 x$ の変曲点を求めよ。

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変曲点は凹凸が入れかわる点 — 第 $2$ 次導関数の符号が変わる場所を探す。 $y^{''} = 0$ を解くだけでなく、符号が本当に入れかわるかの確認まで。

解答・解説

方針

変曲点は「凹凸が入れかわる点」で、第 $2$ 次導関数 $y^{''}$ が $0$ になり、その前後で符号が変わる点。 $y^{''} = 0$ を解いて確認する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変曲点とは、グラフの"曲がり方"が入れ替わる点だ。

「曲がり方」とは何か。

下に凸(お椀の形)— 接線がグラフの下にある
上に凸(山の形)— 接線がグラフの上にある

この $2$ つが切り替わる境目が、変曲点である。

$1$ 階と $2$ 階の導関数で、役割分担がある。

$y^{'}$ — 増減(上がっているか、下がっているか)
$y^{''}$ — 凹凸(どちらに曲がっているか)

変曲点を探すには、 $y^{''}$ を見る。

$y = x^{3} - 3 x ⟹ y^{'} = 3 x^{2} - 3 ⟹ y^{''} = 6 x$

$y^{''} = 0 ⟹ x = 0$

注意。 $y^{''} = 0$ だけでは足りない。前後で $y^{''}$ の符号が変わることまで確かめる。

$x < 0 : y^{''} < 0 (上に凸), x > 0 : y^{''} > 0 (下に凸)$

変わっている。 よって $(0, 0)$ が変曲点だ。

定理変曲点:

y^{''} = 0

となり、その前後で

y^{''}

の符号(凹凸)が変わる点

① $y^{''}$ を求める。 $y^{'} = 3 x^{2} - 3$ 、 $y^{''} = 6 x$ 。

② $y^{''} = 0$ を解く。 $6 x = 0$ 、 $x = 0$ 。

③ 符号の変化を確認する。 $y^{''} = 6 x$ は $x < 0$ で負(上に凸)、 $x > 0$ で正(下に凸)。符号が変わるので $x = 0$ は変曲点。 $y (0) = 0$ 。

$変曲点 (0, 0)$

y=x³−3x の変曲点(0,0)。ここで凹凸が変わる

まとめ:変曲点は「グラフの曲がり方(凹凸)が切りかわる点」。 $y^{''}$ の符号で凹凸が決まり( $y^{''} > 0$ で下に凸、 $y^{''} < 0$ で上に凸)、それが変わる所が変曲点。 $y^{''} = 0$ だけでなく、前後で符号が変わることまで確認する。

発展 — 一歩先へ。 「 $y^{''} = 0$ だが、変曲点ではない」— そんな点は存在するだろうか。

存在する。

$y = x^{4}$ を考えよう。

$y^{'} = 4 x^{3}, y^{''} = 12 x^{2}$

$y^{''} = 0$ となるのは $x = 0$ 。

だが、 $y^{''}$ の符号は?

$x < 0 : y^{''} = 12 x^{2} > 0 x > 0 : y^{''} = 12 x^{2} > 0$

どちらも正。符号が変わらない。

つまり、 $x = 0$ の前後で、どちらも下に凸のまま。 曲がり方は入れ替わっていない。

$x = 0$ は、変曲点ではない。

グラフを見れば当然だ。 $y = x^{4}$ は、原点を底とするお椀の形。ずっと下に凸で、曲がり方が変わる場所はない。

教訓。

$y^{''} = 0 は変曲点の必要条件だが、十分条件ではない$

「 $y^{''} = 0$ 」を解いたら、必ず前後の符号を調べる。

この構造は、極値の判定とまったく同じである。

$y^{'} = 0 は極値の必要条件だが、十分条件ではない$

$y = x^{3}$ で確かめよう。 $y^{'} = 3 x^{2}$ は $x = 0$ で $0$ になる。

だが $y^{'}$ は前後で正のまま( $3 x^{2} ≧ 0$ )。増加が続いているだけで、極値ではない。

グラフは、原点で一瞬水平になるが、そのまま登り続ける。(「停留点」と呼ばれる。)

$2$ つの落とし穴が、きれいに対応している。

$y^{'} = 0 だが極値でない ⟷ y^{''} = 0 だが変曲点でない$

どちらも「 $0$ になっただけでは足りない。符号が変わってこそ意味がある」という話だ。

なぜ、こんなことが起こるのか。

微分は「その瞬間」の情報しか教えてくれないからだ。

$f^{'} (a) = 0$ は「 $x = a$ で瞬間的に水平」と言っているだけ。 その前後がどうなっているかは、別に調べる必要がある。

「点の情報」から「区間の性質」を結論するには、必ず追加の確認が要る。

この慎重さが、微分を正しく使うということである。

そして、変曲点には $1$ つ、美しい性質がある。

変曲点では、接線がグラフを"貫く"。

普通の点では、接線はグラフの片側(上か下)にある。 だが変曲点では、接線が曲線を横切る。

$y = x^{3} - 3 x$ の変曲点 $(0, 0)$ での接線は $y = - 3 x$ 。

この直線は、原点でグラフを貫通している — 左では曲線の下、右では上を通る。

「凹凸が入れ替わる」ことの、いちばん目に見える現れである。

答

変曲点 $(0, 0)$

別解

微分せずに、対称性から変曲点を当てる。

この関数を、よく見てほしい。

$f (x) = x^{3} - 3 x$

$x$ を $- x$ に置き換えると?

$f (- x) = (- x)^{3} - 3 (- x) = - x^{3} + 3 x = - (x^{3} - 3 x) = - f (x)$

$f (- x) = - f (x)$

奇関数である。

奇関数のグラフは、原点に関して点対称だ。

具体的に確かめよう。

$f (1) = 1 - 3 = - 2, f (- 1) = - 1 + 3 = 2$

$(1, - 2)$ と $(- 1, 2)$ — 原点をはさんで、ちょうど反対側にある。

$f (2) = 8 - 6 = 2, f (- 2) = - 8 + 6 = - 2$

$(2, 2)$ と $(- 2, - 2)$ — やはり点対称。

ここからが本題だ。

点対称なグラフでは、対称の中心のまわりで、曲がり方が反転する。

右側で下に凸なら、左側は( $18 0^{\circ}$ 回すのだから)上に凸になる。

だから、対称の中心が、そのまま変曲点になる。

この関数の対称の中心は、原点 $(0, 0)$ 。

$変曲点 = (0, 0)$

微分せずに、答えが出た ✓

この見方は、 $3$ 次関数の一般論につながる。

すべての $3$ 次関数は、変曲点に関して点対称である。

$y = a x^{3} + b x^{2} + c x + d$ の変曲点は

$y^{''} = 6 a x + 2 b = 0 ⟹ x = - \frac{b}{3 a}$

この点を中心に、グラフは $18 0^{\circ}$ 回転対称になっている。

確かめてみよう。 $y = x^{3} - 3 x^{2}$ の変曲点は $x = 1$ 、 $y = 1 - 3 = - 2$ で、 $(1, - 2)$ 。

$x = 1$ から等距離の点を調べる。

$f (1 + t) = (1 + t)^{3} - 3 (1 + t)^{2} = t^{3} - 3 t - 2$ $f (1 - t) = (1 - t)^{3} - 3 (1 - t)^{2} = - t^{3} + 3 t - 2$

$2$ つを足すと

$f (1 + t) + f (1 - t) = - 4 = 2 \times (- 2)$

平均が $- 2$ — つまり、 $2$ 点の中点の $y$ 座標が、常に変曲点の $y$ 座標に等しい。

これが「点対称」の定義そのものだ ✓

$3$ 次関数は、必ず変曲点を $1$ つもち、そこを中心に点対称。

この事実を知っていると、 $3$ 次関数のグラフを描くのが劇的に楽になる。

「極大と極小の中点が、変曲点」 — 増減表を書く前から、グラフの骨格が見えている。

ポイント

変曲点は $y^{''} = 0$ かつ前後で符号が変わる点。
$y^{''} > 0$ で下に凸、 $y^{''} < 0$ で上に凸。

よくある間違い

$y^{''} = 0$ となる点を、そのまま変曲点だと決めつける。前後で $y^{''}$ の符号が変わることを確認する必要がある
変曲点を「極値」と混同する。極値は $y^{'} = 0$ (増減の切り替わり)、変曲点は $y^{''}$ の符号変化(凹凸の切り替わり)
変曲点の $x$ 座標だけ答えて、 $y$ 座標を出し忘れる。変曲点は点なので $(0, 0)$ と座標で答える