数学III / 微分法の応用

接線の方程式(対数関数)

★ 基礎接線

問題

曲線 $y = lo g x$ 上の点 $(1, 0)$ における接線の方程式を求めよ。

ヒントを見る

$lo g x$ の導関数に $x = 1$ を入れて傾きを出す。通る点は問題文にある。

解答・解説

方針

傾きは $(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ の $x = 1$ での値、 $\frac{1}{1} = 1$ 。点 $(1, 0)$ を通る直線を作る。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 関数が $lo g x$ に変わっても、手順はまったく同じだ。

① 傾き(微分係数)を出す。

$f (x) = lo g x ⟹ f^{'} (x) = \frac{1}{x}$

$f^{'} (1) = \frac{1}{1} = 1$

傾きは $1$ 。

② 点 $(1, 0)$ を通る直線を書く。

$y - 0 = 1 \cdot (x - 1) ⟹ y = x - 1$

接線が求まった。

ここで、 $1$ つ気づいてほしい。

前問( $e^{x}$ の接線)の答えは $y = x + 1$ だった。 今回は $y = x - 1$ 。

傾きはどちらも $1$ 。 定数だけが $+ 1$ と $- 1$ で逆になっている。

これは偶然だろうか。 その答えは、別解で明かされる。

公式接線

y - f (a) = f^{'} (a) (x - a)

、

(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}

① 傾きを求める。 $f^{'} (x) = \frac{1}{x}$ なので $f^{'} (1) = 1$ 。

② 点 $(1, 0)$ を通る直線を作る。

$y - 0 = 1 \cdot (x - 1) \Rightarrow y = x - 1$

y=log x と点(1,0)での接線 y=x−1

まとめ: $lo g x$ の $x = 1$ での傾きは $\frac{1}{1} = 1$ 。接線 $y = x - 1$ は $lo g x$ の $x = 1$ 付近での近似になる。 $e^{x}$ の接線 $y = x + 1$ と $y = x$ について対称なのは、両者が逆関数だからだ。

発展 — 一歩先へ。 接線から得られた不等式

$lo g x ≦ x - 1$

は、見た目より遥かに強力だ。

まず、形を変えてみよう。 $x$ を $\frac{1}{x}$ に置き換える( $x > 0$ )。

$lo g \frac{1}{x} ≦ \frac{1}{x} - 1$

$- lo g x ≦ \frac{1}{x} - 1$

$lo g x ≧ 1 - \frac{1}{x}$

下からの評価も手に入った。

$1 - \frac{1}{x} ≦ lo g x ≦ x - 1$

$lo g$ が、 $2$ つの簡単な式で挟まれた。

この挟み込みが、いろいろな極限を証明する。

そして、この不等式の応用のなかで、もっとも有名なのが — 相加平均・相乗平均の不等式の証明だ。

$n$ 個の正の数 $a_{1}, \dots, a_{n}$ について

$\frac{a _{1} + a _{2} + \dots + a _{n}}{n} ≧ n a_{1} a_{2} \dots a_{n}$

証明の骨格。 相加平均を $A$ とおき、 $x = \frac{a _{i}}{A}$ を $lo g x ≦ x - 1$ に入れる。

$lo g \frac{a _{i}}{A} ≦ \frac{a _{i}}{A} - 1$

$i = 1$ から $n$ まで、すべて足す。

$i = 1 \sum n lo g \frac{a _{i}}{A} ≦ \frac{\sum a _{i}}{A} - n = \frac{n A}{A} - n = 0$

左辺は、対数の性質でまとめられる。

$lo g \frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{A ^{n}} ≦ 0$

$\frac{a _{1} a _{2} \dots a _{n}}{A ^{n}} ≦ 1$

$a_{1} a_{2} \dots a_{n} ≦ A^{n}$

両辺の $n$ 乗根をとって

$n a_{1} a_{2} \dots a_{n} ≦ A ■$

証明できた。

$2$ 変数の相加相乗( $a + b ≧ 2 ab$ )は中学レベルの変形で示せるが、 $n$ 変数となると、とたんに難しくなる。

その難問が、「 $lo g x ≦ x - 1$ 」という接線の不等式 $1$ 本で片づいた。

しかも、等号成立条件まで自動的に出る。 $lo g x = x - 1$ の等号は $x = 1$ のときだけだから、すべての $\frac{a _{i}}{A} = 1$ 、つまり $a_{1} = a_{2} = \dots = a_{n}$ のとき。

接線という、素朴な図形的対象。

そこから引き出された不等式が、 $n$ 変数の不等式を証明する。

「接線は曲線を押さえる」 — この $1$ 行の幾何的事実が、代数の難問を解く鍵になっている。

答

$y = x - 1$

別解

微分せずに、鏡に映して求める。

$lo g x$ と $e^{x}$ は、互いに逆関数だ。

逆関数のグラフは、直線 $y = x$ に関して対称になる。

つまり、 $y = lo g x$ のグラフは、 $y = e^{x}$ のグラフを $y = x$ で折り返したものである。

折り返しの規則。

$点 (a, b) ⟷ 点 (b, a)$

$x$ 座標と $y$ 座標を入れかえるだけ。

接点を折り返す。

$e^{x}$ の接点は $(0, 1)$ だった。 入れかえると $(1, 0)$ — まさに、この問題の接点だ!

接線も折り返す。

$e^{x}$ の接線は $y = x + 1$ だった。 この直線上の点を、片端から入れかえてみよう。

$(0, 1) \to (1, 0), (1, 2) \to (2, 1), (- 2, - 1) \to (- 1, - 2)$

折り返した $3$ 点 $(1, 0)$ 、 $(2, 1)$ 、 $(- 1, - 2)$ は、どんな直線に乗るか。

すべて $y = x - 1$ を満たす。

$0 = 1 - 1, 1 = 2 - 1, - 2 = - 1 - 1$

$3$ 点とも、確かに満たしている。

微分を $1$ 回もせずに、接線 $y = x - 1$ が求まった ✓

なぜ、これでよいのか。

「折り返し」は、図形をそのまま移す操作だ。 曲線と接線が触れていたなら、折り返した後も触れている。

接するという関係は、鏡に映しても壊れない。

傾きについても、確かめておこう。

$y = x + 1$ の傾きは $1$ 。折り返すと、傾きは逆数になる( $\frac{1}{1} = 1$ )。

たまたま $1$ だったので、変わらなかった。

もし $e^{x}$ の接線の傾きが $2$ なら、 $lo g x$ 側では $\frac{1}{2}$ になる。 これが「逆関数の微分は逆数」ということだ。

この見方が教えてくれること。

$e^{x} ≧ x + 1 (e^{x} は接線の上)$

を、 $y = x$ で折り返すと

$lo g x ≦ x - 1 (lo g x は接線の下)$

不等号の向きが、ひっくり返る。

上に凸(下に凸)も、折り返しで入れかわるのだ。

$e^{x}$ は下に凸で、接線の上にある。 $lo g x$ は上に凸で、接線の下にある。 鏡の中の世界では、すべてが裏返る。

$1$ つの計算で、 $2$ つの関数が同時に分かる。 逆関数の対称性は、それだけ強力な視点である。

ポイント

接線の傾き $= f^{'} (a)$ 。
$(lo g x)^{'} = \frac{1}{x}$ 、 $f^{'} (1) = 1$ 。

よくある間違い

$f^{'} (1) = \frac{1}{1} = 1$ の計算で、 $lo g 1 = 0$ と混同して傾きを $0$ にしてしまう。傾きは導関数 $\frac{1}{x}$ の値
接点 $(1, 0)$ の $y$ 座標が $0$ なので、 $y - 0$ を書かずに $y = x$ としてしまう。 $x - 1$ の $- 1$ が落ちる
$lo g x$ の定義域( $x > 0$ )を無視して、 $x ≦ 0$ の範囲でもグラフを考えてしまう