極値(log x / x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=\frac{\log x}{x}$ は、分数の形。商の微分を使う。

$$y^{\prime }=\frac{(\log x{)}^{\prime }\cdot x-\log x\cdot (x{)}^{\prime }}{x^2}=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

ここで、決定的な観察をする。

$$x^2>0(x>0\text{ だから})$$

分母は、常に正だ。

だから $y^{\prime }$ の符号は、分子 $(1-\log x)$ だけで決まる。

$$1-\log x=0⟹\log x=1⟹x=e$$

極値の候補は $x=e$。

前後の符号を調べる。

• $x<e$ → $\log x<1$ → 分子は正 → 増加
• $x>e$ → $\log x>1$ → 分子は負 → 減少

増加から減少へ。$x=e$ で極大だ。

「分数関数の符号は、正の分母を無視して、分子で判断する」 — 前問の $e^{-x}>0$ と同じ発想である。

① $y^{\prime }$ を求める。 $f=\log x$、$g=x$。

$$y^{\prime }=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

② $y^{\prime }=0$ を解く。 $x^2>0$ なので分子 $1-\log x=0$、$\log x=1$、$x=e$。

③ 符号を調べる。 $1-\log x$ は $x<e$ で正($\log x<1$)、$x>e$ で負。正→負 なので $x=e$ で極大。

$$y(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$$

まとめ:$\frac{\log x}{x}$ は $x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}$。分母 $x^2>0$ なので、$y^{\prime }$ の符号は分子 $1-\log x$ だけで決まる。$\log x=1⟺x=e$ が急所。

発展 — 一歩先へ。 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ のグラフを、全体として描いてみよう。

$4$ つのポイントを押さえる。

① 定義域: $x>0$

② $x\to +0$ のとき

$$\log x\to -\infty ,\frac{1}{x}\to +\infty$$

$-\infty$ と $+\infty$ の積 → $-\infty$。 グラフは、$y$ 軸に沿って下から立ち上がる。

③ $x\to \infty$ のとき

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{\log x}{x}=0$$

$\log$ の増え方より、$x$ の増え方のほうが圧倒的に速い。 だから $0$ に近づく。

($\log$ は、どんな $x$ の正のべきよりも、ゆっくり増える。)

④ $x=e$ で極大値 $\frac{1}{e}\approx 0.368$

グラフの姿が見えた。

$y$ 軸から $-\infty$ の底を這い上がり、$x=1$ で $x$ 軸を横切り($\log 1=0$)、$x=e$ で最高点 $\frac{1}{e}$ に達し、そこからゆっくり $0$ へ降りていく。

この形が、意外な問題を解く。

問題: 方程式 $x^{1/x}=k$ の解の個数を求めよ。

両辺の対数をとる。

$$\frac{\log x}{x}=\log k$$

左辺は、この問題の関数だ!

「$y=f(x)$ と、水平線 $y=\log k$ の交点の個数」を数えればよい。

グラフから、一目瞭然だ。

• $\log k>\frac{1}{e}$(最大値より上)→ 交点 $0$ 個
• $\log k=\frac{1}{e}$(ちょうど頂上)→ 交点 $1$ 個($x=e$)
• $0<\log k<\frac{1}{e}$ → 交点 $2$ 個(左右に $1$ つずつ)
• $\log k\leqq 0$ → 交点 $1$ 個

関数の形が分かっていれば、方程式の解の個数が"見える"。

この考え方から、面白い事実が出てくる。

$2^{1/2}$ と $4^{1/4}$ を計算してみよう。

$$2^{1/2}=\sqrt{2}\approx 1.414$$ $$4^{1/4}=\sqrt{2}\approx 1.414$$

同じ値だ!

$$\frac{\log 2}{2}=\frac{\log 4}{4}=\frac{2\log 2}{4}=\frac{\log 2}{2}$$

$x=2$ と $x=4$ は、$f(x)$ の同じ高さにある。 グラフの山の、左右の斜面に対応する $2$ 点だ。

そして、これが $x^y=y^x$ を満たす、唯一の"きれいな"整数解になる。

$$2^4=4^2=16$$

$\frac{\log x}{x}$ という関数の山の形が、この美しい等式を生んでいる。

グラフを描く、ということは、その関数が持つすべての秘密を、$1$ 枚の絵に凝縮することなのだ。

別解

この極値を使って、有名な難問を解く。

問題: $e^{\pi }$ と ${\pi }^e$、どちらが大きいか。

($e=2.718\dots$、$\pi =3.141\dots$。電卓は使わずに、大小を決めよ。)

一見、手も足も出ない。 底も指数も違う $2$ つの数を、どう比べるのか。

ここで、この問題で調べた関数が効いてくる。

まず、両辺の対数をとる。

$$\log (e^{\pi })=\pi \log e=\pi$$ $$\log ({\pi }^e)=e\log \pi$$

$\log$ は単調増加だから、対数の大小がそのまま元の数の大小になる。

$$e^{\pi }\text{と}{\pi }^e⟺\pi \text{と}e\log \pi$$

両辺を $e\pi$($>0$)で割る。

$$\frac{\pi }{e\pi }\text{と}\frac{e\log \pi }{e\pi }⟺\frac{1}{e}\text{と}\frac{\log \pi }{\pi }$$

形が見えた!

$$\frac{1}{e}=\frac{\log e}{e}=f(e),\frac{\log \pi }{\pi }=f(\pi )$$

どちらも、この問題の関数 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ の値だ。

そして、$f(x)$ は $x=e$ で極大値をとる — つまり最大値をとる。

$$f(e)>f(\pi )(\pi \ne e\text{ だから、真に大きい})$$

$$\frac{1}{e}>\frac{\log \pi }{\pi }$$

逆にたどると

$$\pi >e\log \pi ⟹e^{\pi }>{\pi }^e$$

$$\boxed{e^{\pi }>{\pi }^e}$$

電卓なしで、決着した ✓

(念のため数値で確認: $e^{\pi }=23.14\dots$、${\pi }^e=22.46\dots$ ✓)

この解法の見事さは、どこにあるか。

「比べにくい $2$ 数」を、「$1$ つの関数の $2$ つの値」に翻訳したことだ。

関数の最大値が $x=e$ にあると分かっていれば、$e$ と他のどんな数を比べても、勝負はついている。

そして、この結果は一般化できる。

任意の正の数 $a$($a\ne e$)について

$$e^a>a^e$$

$e$ は、この意味で"特別な"底なのだ。

$e^2>2^e$($7.39>6.58$)✓ $e^{10}>10^e$($22026>522$)✓

「$e$ を底にしたほうが、常に大きくなる」

$\frac{\log x}{x}$ の最大値が $x=e$ にある — この $1$ つの事実が、$e$ の特別さを、また別の角度から照らし出している。