極値((x-1)eˣ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値は $y^{\prime }=0$ の点の候補から。積の微分で

$$y^{\prime }=1\cdot e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$$

ここで $e^x>0$ が効く — $y^{\prime }$ の符号は因数 $x$ だけで決まる。$x<0$ で減少、$x>0$ で増加。

$x=0$ で減少から増加に転じるから極小で、極小値は $y(0)=-1$。「指数関数の因数は符号に影響しない」— $e^x$ 入りの増減調べの急所である。

① $y^{\prime }$ を求める。 $f=x-1$、$g=e^x$。

$$y^{\prime }=1\cdot e^x+(x-1)e^x=x{e}^x$$

② $y^{\prime }=0$ を解く。 $e^x>0$ なので $x=0$。

③ 符号を調べる。 $x{e}^x$ は $x<0$ で負、$x>0$ で正。負→正 なので $x=0$ で極小。

$$y(0)=(0-1)e^0=-1$$

まとめ:$(x-1)e^x$ の微分は積の微分で $x{e}^x$ ときれいにまとまる。$e^x>0$ なので符号は $x$ だけで決まり、$x=0$ で負→正、極小値 $-1$。因数分解した形で符号を読むのがコツだ。

発展 — 一歩先へ。 $x\to -\infty$ で $y\to 0$ となるのは、「多項式 $\times$ 指数」の綱引きで指数が必ず勝つから($x{e}^x,x^2{e}^x$ でも同じく $0$ へ)。この事実は $\frac{x^n}{e^x}\to 0$($x\to \infty$)と同じもので、数IIIの極限の伏線になっている。

$y^{\prime }=x{e}^x$、$y^{\prime \prime }=(x+1)e^x$ — 微分するたび因数の $1$ 次式が $1$ ずつずれる。変曲点は $x=-1$(まさに検算に使った点)で、谷の左肩の丸みが切り替わる位置。$(x+a)e^x$ 一族の微分は、この「ずれの規則」で暗算できる。

別解

微分の前に、両端と目印の点で関数の大づかみの姿を見ておく読み方を紹介する。

• $x\to -\infty$: $e^x$ が猛烈な速さで $0$ に向かうので $y\to 0$。ただし $x-1<0$ だから、$0$ に下から近づく
• $x=1$: $y=0$(ここで $x$ 軸を横切る)
• $x\to +\infty$: 両因数とも正で大きく、$y\to +\infty$

つなぐと — 左の遠くで $0$ のすぐ下、どこかで下がって谷を作り、上がってきて $x=1$ で $0$ を横切り、右で急上昇。谷が $1$ つだけある形が、微分の前から見えている。

微分の役目は「その谷がどこか」の特定だけ($x=0$、深さ $-1$)。実際 $y(-1)=-\frac{2}{e}\approx -0.74$ で、谷底 $-1$ より浅い — 数値も絵と合う。

「両端の極限と零点で骨格 → 微分で細部」の順に見ると、増減表の結果が妥当かを自分で判定でき、符号ミスにも即気づける。