曲線 xeˣ に引ける接線の本数(微分と2次方程式の融合)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 曲線の外(ここでは $x$ 軸上の点)から引く接線は、接点を主役にする。接点を $(t,t{e}^t)$ とおいて接線を書く。

その接線が $(a,0)$ を通る、という条件を式にすると、$t$ の方程式 $t^2-at-a=0$ になる。

接点が異なれば接線も異なるから、接線の本数=この $t$ 方程式の実数解の個数。$2$ 次方程式だから判別式 $a(a+4)$ の符号で、$2$ 本・$1$ 本・$0$ 本が決まる。

① 接線を作る。 $y=x{e}^x$、$y^{\prime }=(x+1)e^x$。接点 $(t,t{e}^t)$ での接線は $$y=(t+1)e^t(x-t)+t{e}^t.$$ ② $(a,0)$ を通る条件を $t$ の式に。 $(a,0)$ を代入して $$0=(t+1)e^t(a-t)+t{e}^t=e^t\{(t+1)(a-t)+t\}.$$ $e^t>0$ で割ると $(t+1)(a-t)+t=0$。展開して整理すると $$-t^2+at+a=0⟺t^2-at-a=0.$$

③ 判別式で分類する。 $t^2-at-a=0$ の判別式は $$D=a^2+4a=a(a+4).$$

$D>0⟺a<-4$ または $a>0$、$D=0⟺a=-4$ または $a=0$、$D<0⟺-4<a<0$。よって接線の本数は

• $a<-4$ または $a>0$ … 2本
• $a=-4$ または $a=0$ … 1本
• $-4<a<0$ … 0本

まとめ 「接線の本数」は「接点の方程式の実数解の個数」に翻訳する。指数関数でも接点条件では $e^t$ が割れて2次方程式に落ち、判別式 $a(a+4)$ の符号で本数が決まる。微分・指数・2次方程式(判別式)の融合。

発展 — 一歩先へ。 接線の本数は「$a=\frac{t^2}{t+1}$ という関数の値 $a$ を何個の $t$ が与えるか」で決まる(別解)。この $\varphi (t)=\frac{t^2}{t+1}$ の極値 $0,-4$ が、判別式 $a(a+4)$ の零点と一致する。「点から曲線への接線の本数」は、いつも“接点をパラメータにした関数のグラフ”の水平線との交点数に翻訳できる。

別解

別解 — 接点を通る「接線の傾き」を関数で見る(得意な人向けの視点)。 接点 $(t,t{e}^t)$ での接線が $x$ 軸上の点 $(a,0)$ を通る条件は、傾き $\frac{t{e}^t-0}{t-a}$ が接線の傾き $(x{e}^x{)}^{\prime }{|}_t=(t+1)e^t$ に等しいこと。

$$\frac{t{e}^t}{t-a}=(t+1)e^t⟹t=(t+1)(t-a)⟹t^2-at-a=0.$$

ここで $a$ を分離すると $a=\frac{t^2}{t+1}$。つまり「$(a,0)$ から引ける接線の本数」は、水平線 $y=a$ と曲線 $\varphi (t)=\frac{t^2}{t+1}$ の交点の個数だ。

${\varphi }^{\prime }(t)=\frac{t(t+2)}{(t+1{)}^2}=0$ から極値 $t=0$($\varphi =0$)と $t=-2$($\varphi =-4$)。グラフを描くと、$a>0$ と $a<-4$ で $2$ 交点、$a=0,-4$ で $1$ 交点、$-4<a<0$ で $0$ 交点。判別式(本解)の $a(a+4)$ の符号と、$\varphi (t)$ の極値 $0,-4$ がぴったり対応する。