グラフの概形(分数関数)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $\frac{x}{x^2+1}$ の概形をつかむには、道具を総動員する。

$y^{\prime }$ で極値、$y^{\prime \prime }$ で変曲点、極限で漸近線を調べる。

さらに、この関数は奇関数(原点対称)だ。だから片側を調べれば反対側も分かる。

対称性を使えば、調べる手間が半分で済む。

① 極値を求める。 商の微分。

$$y^{\prime }=\frac{(x^2+1)-x\cdot 2x}{(x^2+1{)}^2}=\frac{1-x^2}{(x^2+1{)}^2}$$

分母 $>0$ なので符号は分子 $1-x^2$ が決める。$y^{\prime }=0$ は $x=\pm 1$。

• $x=1$:正→負 で極大。$y(1)=\frac{1}{2}$。
• $x=-1$:負→正 で極小。$y(-1)=-\frac{1}{2}$。

② 漸近線を調べる。 $x\to \infty$ で分母 $x^2$ が分子 $x$ より速く増えるので $y\to 0$。よって $y=0$($x$ 軸)が漸近線。

③ 変曲点。 $y^{\prime \prime }$ を計算すると $x=0,\pm \sqrt{3}$ で $0$ になり符号が変わる。変曲点は $(0,0)$、$\left(\pm \sqrt{3},\pm \frac{\sqrt{3}}{4}\right)$。

まとめ:$\frac{x}{x^2+1}$ は奇関数(原点対称)。極大 $\frac{1}{2}$・極小 $-\frac{1}{2}$ で、$x\to \pm \infty$ で $0$ に近づく山と谷が $1$ つずつ。分母が正なので $y^{\prime }$ の符号は分子だけで読める。

発展 — 一歩先へ。 この関数は、三角関数に化ける。$x=\tan \theta$($-\frac{\pi }{2}<\theta <\frac{\pi }{2}$)と置くと、$x^2+1=\frac{1}{{\cos }^2\theta }$ となる。

すると $\frac{x}{x^2+1}=\tan \theta {\cos }^2\theta =\sin \theta \cos \theta =\frac{1}{2}\sin 2\theta$。つまり $y$ は、姿を変えた $\frac{1}{2}\sin 2\theta$ にほかならない。

値が $-\frac{1}{2}$ から $\frac{1}{2}$ までしか動かないのは、$\sin$ が $-1$ から $1$ までしか動かないからだ。極大 $\frac{1}{2}$ は $2\theta =\frac{\pi }{2}$、すなわち $x=\tan \frac{\pi }{4}=1$ に対応する。

奇関数であることも、$\sin 2\theta$ が奇関数であることの反映と見える。有理関数と三角関数が、$\tan$ の置きかえ一つでつながる。

別解

別解 — 値域を判別式で出す(得意な人向けの視点)。 微分をせずとも、極大値・極小値の「値」だけなら判別式で出せる。

$y=\frac{x}{x^2+1}$ を、$y$ を定数と見て $x$ の方程式に直す。分母を払うと

$$y{x}^2-x+y=0.$$

$x$ が実数として存在するには、この方程式が実数解をもてばよい。$y\ne 0$ のとき $2$ 次方程式で、判別式 $\ge 0$ より

$$1-4y^2\ge 0⟹-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}.$$

($y=0$ のときは $x=0$ で成り立つので範囲に入る。)つまり $y$ の動く範囲(値域)は $-\frac{1}{2}\le y\le \frac{1}{2}$。上端 $y=\frac{1}{2}$ は重解 $x=1$、下端 $y=-\frac{1}{2}$ は重解 $x=-1$ で実現する。

これで極大値 $\frac{1}{2}$、極小値 $-\frac{1}{2}$ が微分なしで確定し、本解と同じ答え。ただし変曲点は「値域」からは出ないので、そこは $y^{\prime \prime }$ が要る。