数学III / 微分法の応用

凹凸の判定

★ 基礎凹凸

問題

関数 $y = x^{3}$ について、下に凸となる $x$ の範囲と、上に凸となる $x$ の範囲を求めよ。

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凹凸を調べる道具は第 $2$ 次導関数。その符号がどちらの凸に対応するのだったか、グラフの形と結びつけて思い出そう。

解答・解説

方針

凹凸は第 $2$ 次導関数 $y^{''}$ の符号で決まる。 $y^{''} > 0$ で下に凸、 $y^{''} < 0$ で上に凸。 $y^{''}$ を求めて符号を調べる。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 凹凸を決めるのは、第 $2$ 次導関数 $y^{''}$ の符号だ。

$y^{''} > 0 ⟹ 下に凸, y^{''} < 0 ⟹ 上に凸$

この関数の $y^{''}$ を計算する。

$y = x^{3} ⟹ y^{'} = 3 x^{2} ⟹ y^{''} = 6 x$

$y^{''} = 6 x$ の符号は、 $x$ の符号そのものだ。

$x > 0$ → $y^{''} > 0$ → 下に凸
$x < 0$ → $y^{''} < 0$ → 上に凸

$x = 0$ を境に、曲がり方が反転する。

$y = x^{3}$ のグラフを思い出そう。 左半分は上に膨らみ、右半分は下に膨らむ、あのS字の形。

原点で、S字がねじれている。 そこが変曲点だ。

「凹凸は $y^{''}$ の符号」 — この $1$ 行を、まず確実にする。

定理

y^{''} > 0

で下に凸、

y^{''} < 0

で上に凸

① $y^{''}$ を求める。 $y^{'} = 3 x^{2}$ 、 $y^{''} = 6 x$ 。

② 符号で凹凸を判定する。

$x > 0$ : $y^{''} = 6 x > 0$ なので下に凸。
$x < 0$ : $y^{''} = 6 x < 0$ なので上に凸。

$x = 0$ で凹凸が入れかわる(変曲点)。

y=x³。x>0で下に凸、x<0で上に凸(変曲点 x=0)

まとめ:凹凸は $y^{''}$ の符号で読む。 $y^{''} > 0$ なら「谷型(下に凸)」、 $y^{''} < 0$ なら「山型(上に凸)」。 $y = x^{3}$ は原点で凹凸が切りかわる、変曲点をもつ代表例だ。

発展 — 一歩先へ。 凹凸は、単なるグラフの形の話ではない。「不等式を生む」という、強力な性質をもっている。

下に凸な関数の、 $2$ つの顔。

顔 $1$ : 接線は、グラフの下にある。

顔 $2$ : グラフ上の $2$ 点を結んだ線分(弦)は、グラフの上にある。

この「顔 $2$ 」を式で書くと、こうなる。

$f (\frac{a + b}{2}) ≦ \frac{f ( a ) + f ( b )}{2}$

「中点での値」は「両端の値の平均」以下。

イェンセンの不等式である。

これを $f (x) = x^{2}$ (下に凸)で試そう。

$(\frac{a + b}{2})^{2} ≦ \frac{a ^{2} + b ^{2}}{2}$

整理すると

$\frac{a ^{2} + 2 ab + b ^{2}}{4} ≦ \frac{2 a ^{2} + 2 b ^{2}}{4}$

$2 ab ≦ a^{2} + b^{2}$

$0 ≦ (a - b)^{2}$

当たり前の不等式に帰着した。 逆に言えば、 $(a - b)^{2} ≧ 0$ という事実が、「 $x^{2}$ が下に凸」ということの本質だった。

次に、 $f (x) = lo g x$ (上に凸)で試そう。

上に凸なので、不等号が逆向きになる。

$lo g \frac{a + b}{2} ≧ \frac{lo g a + lo g b}{2} = lo g ab$

$lo g$ は単調増加だから、中身どうしを比べてよい。

$\frac{a + b}{2} ≧ ab$

相加平均・相乗平均の不等式が出てきた!

「 $lo g$ が上に凸」という、たった $1$ つの事実から。

$n$ 個に拡張しても、同じことが言える。

$lo g \frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} ≧ \frac{lo g a _{1} + \dots + lo g a _{n}}{n} = lo g n a_{1} \dots a_{n}$

$\frac{a _{1} + \dots + a _{n}}{n} ≧ n a_{1} \dots a_{n}$

$n$ 変数の相加相乗が、 $1$ 行で証明できた。

凹凸は、不等式の製造装置である。

そして、この視点は現代数学の中核をなす。

凸最適化という分野がある。「関数が凸なら、局所的な最小値は必ず大域的な最小値になる」 — この性質が、最適化問題を劇的に簡単にする。

機械学習では、損失関数が凸かどうかが決定的だ。

凸 → 勾配を下っていけば、必ず最適解に着く
非凸 → 局所的な谷にはまり、抜け出せない可能性がある

深層学習の損失関数は非凸で、だからこそ学習が難しい。

「 $y^{''} > 0$ なら下に凸」という、教科書の $1$ 行。

その先には、不等式の理論と、最適化の世界が広がっている。

答

$x > 0$ で下に凸、 $x < 0$ で上に凸(変曲点 $x = 0$ )

別解

「 $y^{''}$ の符号」を丸暗記せず、"傾きの変化"として読む。

$y^{''}$ とは何か。 $y^{'}$ を微分したもの、つまり傾きの変化率だ。

だから、こう言い換えられる。

$y^{''} > 0 ⟺ 傾きが増加している$

傾きが増えていく、とはどういうことか。

坂道を想像してほしい。

最初は緩やかな上り、だんだん急な上りになる。 傾きが $0.1 \to 0.5 \to 1 \to 2$ と増えていく。

これは、下に凸(お椀の形)だ。

逆に、傾きが $2 \to 1 \to 0.5 \to 0.1$ と減っていくなら、上に凸(山の形)。

この関数で、実際に確かめよう。

$y^{'} = 3 x^{2}$

傾きの値を、 $x$ に沿って並べる。

$x = - 3 : y^{'} = 27$ $x = - 2 : y^{'} = 12$ $x = - 1 : y^{'} = 3$ $x = 0 : y^{'} = 0$ $x = 1 : y^{'} = 3$ $x = 2 : y^{'} = 12$ $x = 3 : y^{'} = 27$

左半分( $x < 0$ )では、傾きが $27 \to 12 \to 3 \to 0$ と減っている。

傾きが減少 → 上に凸 ✓

右半分( $x > 0$ )では、傾きが $0 \to 3 \to 12 \to 27$ と増えている。

傾きが増加 → 下に凸 ✓

$y^{''} = 6 x$ の符号を計算しなくても、傾きの動きを追うだけで凹凸が読めた。

ここで、 $1$ つ注意しておきたいことがある。

傾き $y^{'} = 3 x^{2}$ は、常に $0$ 以上だ。 つまり、この関数はずっと増加している( $x = 0$ で一瞬水平になるだけ)。

「増加しているのに、上に凸」ということが起こりうる。

増減( $y^{'}$ )と凹凸( $y^{''}$ )は、独立した情報なのだ。

$4$ つの組み合わせが、すべて存在する。

増加 $+$ 下に凸 — 加速しながら上る(指数的な成長)
増加 $+$ 上に凸 — 減速しながら上る(頭打ちに近づく)
減少 $+$ 下に凸 — 減速しながら下る(下げ止まりに近づく)
減少 $+$ 上に凸 — 加速しながら下る(暴落)

この $4$ つを区別できると、グラフの読み方が一段深くなる。

株価が「上がっているが、上に凸」なら、勢いが鈍っている。 増加の事実だけを見ていては、この兆候は読めない。

「 $y^{'}$ で向きを、 $y^{''}$ で勢いを読む」 — $2$ つの導関数が、それぞれ違う物語を語っている。

ポイント

$y^{''} > 0$ で下に凸、 $y^{''} < 0$ で上に凸。
凹凸の切りかわる点が変曲点。

よくある間違い

$y^{'} > 0$ なら下に凸、と考えてしまう。増減は $y^{'}$ 、凹凸は $y^{''}$ で、別の情報
「下に凸」と「上に凸」を逆に覚える。 $y^{''} > 0$ で下に凸(お椀の形)
$y^{'} = 3 x^{2}$ が常に $0$ 以上だから「常に下に凸」と結論してしまう。 $y^{'}$ の符号は増減の話で、凹凸は $y^{''}$ で判定する