数学III / 微分法の応用

ウォリスの積分(漸化式と極限の融合)

実戦編定積分漸化式極限部分積分単元横断

問題

$n$ を $0$ 以上の整数とし、 $I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x$ とする。

(1) $n \geq 2$ のとき $I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ が成り立つことを示せ。

(2) $n \to \infty lim n I_{n} I_{n - 1}$ を求めよ。

ヒントを見る

$sin^{n} x$ を $sin^{n - 1} x \cdot (sin x)$ と割って部分積分。出てきた漸化式で $n I_{n} I_{n - 1}$ と $(n - 1) I_{n - 1} I_{n - 2}$ を比べると?

解答・解説

方針

$sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ とみて部分積分し漸化式を導く。(2) は漸化式から $n I_{n} I_{n - 1}$ が定数だと見抜く。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $I_{n} = \int_{0}^{π /2} sin^{n} x d x$ を1つずつ計算するのは無理。隣どうしをつなぐ漸化式を作る。

$sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ と分け、 $sin x$ を「 $- cos x$ の微分」とみて部分積分する。すると $I_{n}$ が $I_{n - 2}$ で書ける。

(2) の急所は、漸化式 $I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ を $n I_{n} I_{n - 1}$ の形にあてはめること。 $n I_{n} I_{n - 1} = (n - 1) I_{n - 1} I_{n - 2}$ となり、 $n I_{n} I_{n - 1}$ が $n$ によらず一定と分かる。

定理部分積分

\int_{a}^{b} f g^{'} d x = [f g]_{a}^{b} - \int_{a}^{b} f^{'} g d x

① 部分積分で漸化式を作る。 $n \geq 2$ で $sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ とみて、 $g^{'} = sin x$ ( $g = - cos x$ )、 $f = sin^{n - 1} x$ とすると $I_{n} = [- sin^{n - 1} x cos x]_{0}^{π /2} + \int_{0}^{π /2} (n - 1) sin^{n - 2} x cos^{2} x d x .$ 端の項は $0$ ( $x = 0, π /2$ でどちらかが $0$ )。 $cos^{2} x = 1 - sin^{2} x$ を使うと $I_{n} = (n - 1) \int_{0}^{π /2} sin^{n - 2} x (1 - sin^{2} x) d x = (n - 1) (I_{n - 2} - I_{n}) .$ $I_{n}$ について解いて $n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}$ 、すなわち $I_{n} = \frac{n - 1}{n} I_{n - 2}$ 。

Iₙ=∫₀^{π/2}sinⁿx dx は sinⁿx の下の面積。0≤sin x≤1 なので n が増えると曲線が下がり、Iₙ は減っていく。

② $n I_{n} I_{n - 1}$ が定数だと見抜く。 ①の漸化式 $n I_{n} = (n - 1) I_{n - 2}$ を積に代入すると $n I_{n} I_{n - 1} = (n - 1) I_{n - 2} I_{n - 1} = (n - 1) I_{n - 1} I_{n - 2} .$ つまり $n I_{n} I_{n - 1}$ は「 $n$ を1つ下げた同じ形」に等しい。よって $n$ によらず一定で、その値は $n = 1$ での $1 \cdot I_{1} I_{0} = (\int_{0}^{π /2} sin x d x) (\int_{0}^{π /2} d x) = 1 \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{2} .$ ③ 極限。 $n I_{n} I_{n - 1} = \frac{π}{2}$ (すべての $n$ )だから $n \to \infty lim n I_{n} I_{n - 1} = \frac{π}{2} .$

まとめ $sin^{n}$ の積分は部分積分で次数を2つ下げる漸化式に落とす。積 $n I_{n} I_{n - 1}$ に漸化式を入れると“隣と同じ”=定数、と見抜けるのが山。定積分・漸化式・極限が一つの流れでつながる。

発展 — 一歩先へ。 単調性を足すと $I_{n} \sim \frac{π}{2 n}$ が出る(別解)。ここから $\frac{( 2 n )!}{4 ^{n} ( n ! ) ^{2}} \sim \frac{1}{π n}$ が導け、さらにウォリスの積 $\frac{π}{2} = \frac{2}{1} \cdot \frac{2}{3} \cdot \frac{4}{3} \cdot \frac{4}{5} \dots$ に到達する。定積分の漸化式1本が、円周率の無限積とスターリングの公式の両方に通じている。

答

部分積分で漸化式を導く。 $n I_{n} I_{n - 1}$ は $n$ によらず一定で、 $1 \cdot I_{1} I_{0} = \frac{π}{2}$ 。極限は $\frac{π}{2}$ 。

別解

別解 — はさみうちで $I_{n}$ の“大きさ”を出す(得意な人向けの高い視点)。 $n I_{n} I_{n - 1} = \frac{π}{2}$ が分かれば、 $I_{n}$ そのものの大きさも評価できる。

$0 < x < \frac{π}{2}$ で $sin^{n + 1} x < sin^{n} x < sin^{n - 1} x$ だから、 ${I_{n}}$ は減少列で $I_{n + 1} < I_{n} < I_{n - 1}$ 。 $I_{n - 1}$ で割ると

$\frac{I _{n + 1}}{I _{n - 1}} = \frac{n}{n + 1} < \frac{I _{n}}{I _{n - 1}} < 1.$

はさみうちで $\frac{I _{n}}{I _{n - 1}} \to 1$ 。すると $n I_{n}^{2} \sim n I_{n} I_{n - 1} = \frac{π}{2}$ から

$I_{n} \sim \frac{π}{2 n} .$

漸化式から一定量 $n I_{n} I_{n - 1} = \frac{π}{2}$ を取り出すのが本問だが、そこに単調性を足すと $I_{n}$ の漸近の大きさまで分かる。この評価が、中心二項係数 $(n 2 n) \sim \frac{4 ^{n}}{π n}$ やスターリングの公式につながっていく。

ポイント

$sin^{n} x = sin^{n - 1} x \cdot sin x$ とみて部分積分し、 $I_{n}$ と $I_{n - 2}$ の漸化式を作る。
積 $n I_{n} I_{n - 1}$ に漸化式を代入すると、 $n$ によらない定数だと分かる。
定数値は端の $I_{0} = \frac{π}{2}, I_{1} = 1$ から $\frac{π}{2}$ 。

よくある間違い

部分積分で $sin^{n - 1} x$ の微分(合成関数で $(n - 1) sin^{n - 2} x cos x$ )を誤り、漸化式の係数を間違える。
(2) で $n I_{n} I_{n - 1}$ が一定であることを、漸化式にあてはめず個別計算しようとして詰まる。
一定値を求める初期値を誤る( $1 \cdot I_{1} I_{0} = 1 \cdot 1 \cdot \frac{π}{2} = \frac{π}{2}$ )。