法線の方程式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 法線とは、接点で接線と垂直に交わる直線。だから道順は「接線の傾き → 垂直の傾き → 直線の式」。

接線の傾きは微分係数 $f^{\prime }(0)=e^0=1$。

垂直な $2$ 直線の傾きは、積が $-1$。傾き $1$ に垂直なのは傾き $-1$ だ。点 $(0,1)$ を通る傾き $-1$ の直線として $y=-x+1$ が出る。

① 接線の傾きを求める。 $f^{\prime }(x)=e^x$、$f^{\prime }(0)=1$。

② 法線の傾きを求める。 接線の傾き $1$ に垂直なので $-\frac{1}{1}=-1$。

③ 点 $(0,1)$ を通る直線を作る。

$$y-1=-1\cdot (x-0)\Rightarrow y=-x+1$$

まとめ:法線は接点で曲線に垂直な直線。傾きは接線の傾きの「逆数の $-1$ 倍」($-\frac{1}{m}$)。垂直な $2$ 直線の傾きの積が $-1$ という関係から出る。接線 $y=x+1$ と法線 $y=-x+1$ は $(0,1)$ で直交する。

発展 — 一歩先へ。 接線の傾きが $0$(水平)の点では、$-\frac{1}{m}$ が定義できない — 法線は垂直線 $x=(\text{接点})$ になる。公式の「例外」は、$90°$ 回転の絵なら例外ですらない(水平を回せば垂直)。式より絵が広い場面のひとつだ。

法線は「曲線に直角にぶつかる方向」だから、光の反射(鏡面の法線)、最短距離(点から曲線への最短は法線に沿う)、円の中心(円の法線はすべて中心を通る)など、応用の主役は接線より法線であることも多い。

別解

「傾きの積が $-1$」を回転の絵で持っておくと、公式の意味ごと覚えられる。

傾き $m$ の直線の進む向きは、ベクトル $(1,m)$(右へ $1$、上へ $m$)。これを $90°$ 回転すると $(-m,1)$ — つまり垂直な直線は「右へ $-m$、上へ $1$」で、傾きは $-\frac{1}{m}$。逆数にして符号を反転、という操作は $90°$ 回転の座標版だ。

今回は接線方向が $(1,1)$($45°$ の向き)。$90°$ 回した $(-1,1)$ が法線方向で、傾き $-1$。検算は内積で

$$(1,1)\cdot (1,-1)=1-1=0$$

確かに直交している。

傾き $1$ の特別さも味わえる — 接線が $45°$ のとき、法線は $135°$ で「傾きの逆数の符号反転」がちょうど $-1$ に一致し、接線と法線が $y=x+1$、$y=-x+1$ という対称なペアになる。図を描くと $(0,1)$ で直角に交わる美しい十字が見える。