数学III / 微分法の応用

速度と加速度(3次)

★★ 標準速度加速度

問題

数直線上を動く点の座標が $x = t^{3} - 3 t$ で表される。速度が $0$ になる時刻をすべて求め、そのときの加速度を求めよ。

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速度は $1$ 回微分、加速度は $2$ 回微分。速度が $0$ になる時刻を求めてから、その時刻での加速度を計算する。

解答・解説

速度 $v = \frac{d x}{d t}$ 、加速度 $α = \frac{d v}{d t}$ 。 $v = 0$ を解いて時刻を出し、その時刻を $α$ に代入する。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 位置 $x (t)$ が与えられたら、速度は $1$ 回微分、加速度は $2$ 回微分 — 定義がそのまま手順になる。

$v = \frac{d x}{d t} = 3 t^{2} - 3, α = \frac{d v}{d t} = 6 t$

$v = 0$ を解くと $t = \pm 1$ 。それぞれを $α = 6 t$ に代入して $\pm 6$ 。

「位置 → 速度 → 加速度」の微分の階段を、問われた順に降りるだけである。

公式速度

v = \frac{d x}{d t}

、加速度

α = \frac{d v}{d t}

① 速度を求める。

$v = \frac{d x}{d t} = 3 t^{2} - 3$

② $v = 0$ を解く。

$3 t^{2} - 3 = 0 \Rightarrow t^{2} = 1 \Rightarrow t = \pm 1$

③ 加速度を求めて代入する。 $α = \frac{d v}{d t} = 6 t$ 。

$α (1) = 6, α (- 1) = - 6$

x=t³−3t。t=±1で速度0(折り返し)

まとめ:速度が $0$ になる時刻は運動の折り返し点。 $t = 1$ では加速度 $+ 6$ (右向きに加速=谷で折り返す)、 $t = - 1$ では $- 6$ (左向きに加速=山で折り返す)。速度と加速度は位置の $1$ 階・ $2$ 階微分だ。

発展 — 一歩先へ。 「速度が $0$ なのに加速度は $0$ でない」— 真上に投げたボールの最高点がまさにこれだ(一瞬止まるが、重力加速度は働き続ける)。 $v = 0$ と $α = 0$ は独立の事象で、両方同時に $0$ になる特別な点(この運動にはない)はまた別の意味を持つ。

微分の階段は積分で逆に降りられる: 加速度 → 速度 → 位置。物理で「加速度一定 $\Rightarrow$ 等加速度運動の公式」と覚えた式は、 $α$ を $2$ 回積分した結果にすぎない。数IIIの微積分は、力学の文法そのものである。

答

$t = 1$ (加速度 $6$ )、 $t = - 1$ (加速度 $- 6$ )

数式を「点の運動の物語」として読み直すと、答えの意味がはっきりする。

$v = 3 t^{2} - 3 = 3 (t - 1) (t + 1)$ の符号を追うと — $t < - 1$ で正(右へ)、 $- 1 < t < 1$ で負(左へ)、 $t > 1$ で再び正(右へ)。

つまりこの点は、右へ進んできて $t = - 1$ に一瞬止まって折り返し( $x = 2$ の地点)、左へ進んで $t = 1$ でまた折り返す( $x = - 2$ の地点)。「速度 $0$ 」とは、この折り返しの瞬間のことだ。

加速度の符号は折り返しの向きを語る。 $t = - 1$ では $α = - 6 < 0$ — 左向きに押されて右進から左進へ。 $t = 1$ では $α = + 6 > 0$ — 右向きに押されて左進から右進へ。ブランコの端で、常に中心向きに引き戻されるのと同じ配置である。

位置のグラフ $x = t^{3} - 3 t$ で言えば、折り返しの $2$ 点は極大・極小そのもの。「 $v = 0$ ( $x$ の極値)で $α$ ( $x^{''}$ )の符号が折り返す向きを決める」— 数学の極値判定と物理の運動が同じ文法だと分かる。