数学III / 微分法の応用

極値(x e^{-x})

★ 基礎極値

問題

関数 $y = x e^{- x}$ の極値を求めよ。

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積の規則で微分し、共通因数でくくる。指数関数の部分は常に正 — 符号の変化を決めるのは残りの因数だけ。増減表で極大か極小かを判定しよう。

解答・解説

方針

$y^{'}$ を積の微分で求め、 $y^{'} = 0$ を解く。 $e^{- x} > 0$ なので、符号は残りの因数で決まる。符号変化から極大・極小を判定する。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値を求める手順は、 $3$ 段階だ。

① $y^{'}$ を計算する → ② $y^{'} = 0$ を解く → ③ 前後の符号を調べる

この関数は積の形( $x$ と $e^{- x}$ )なので、積の微分を使う。

$y^{'} = 1 \cdot e^{- x} + x \cdot (- e^{- x}) = (1 - x) e^{- x}$

ここで、決定的に大事な観察がある。

$e^{- x} > 0 (どんな x でも)$

指数関数は、絶対に $0$ にも負にもならない。

だから $y^{'}$ の符号は、 $(1 - x)$ だけで決まる。

$x < 1$ のとき $1 - x > 0$ なので、 $y^{'} > 0$ で増加
$x > 1$ のとき $1 - x < 0$ なので、 $y^{'} < 0$ で減少

増加から減少へ切り替わる $x = 1$ が、極大点だ。

「常に正の因数は、符号判定から外す」 — 指数を含む関数を扱う、いちばんのコツである。

公式積の微分。

e^{- x} > 0

なので符号は残りの因数で決まる

① $y^{'}$ を求める。 積の微分。 $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$ 。

$y^{'} = e^{- x} + x (- e^{- x}) = (1 - x) e^{- x}$

② $y^{'} = 0$ を解く。 $e^{- x} > 0$ なので $1 - x = 0$ 、 $x = 1$ 。

③ 符号を調べる。 $(1 - x) e^{- x}$ は $x < 1$ で正、 $x > 1$ で負。正→負なので $x = 1$ で極大。

$y (1) = 1 \cdot e^{- 1} = \frac{1}{e}$

y=xe^{-x}。極大(1, 1/e≈0.37)、x→∞で0に近づく

まとめ: $e^{- x}$ はつねに正なので、 $y^{'}$ の符号は残りの $(1 - x)$ だけで決まる。 $x = 1$ で正→負に変わり極大。値は $\frac{1}{e}$ 。指数がつく関数の極値の典型だ。

発展 — 一歩先へ。 $y = x e^{- x}$ という関数は、自然界で驚くほどよく現れる。

その理由は、「増加と減衰の積」という構造にある。

例 $1$ : 薬の血中濃度。

薬を飲むと、まず腸から吸収されて濃度が上がる。 同時に、肝臓で分解され、腎臓から排出されて濃度が下がる。

吸収(増加)と代謝(減衰)の綱引き。

濃度のグラフは、まさに $x e^{- x}$ の形になる。 飲んでしばらくで濃度がピークを迎え、その後ゆっくり減っていく。

「食後 $30$ 分で効き始め、 $2$ 時間後にピーク」 — この曲線の頂点が、極大値だ。

薬の投与間隔は、この関数から設計されている。

例 $2$ : 放射性物質の連鎖崩壊。

親核種 $A$ が崩壊して娘核種 $B$ になり、 $B$ もまた崩壊する。

$B$ の量は、 $A$ からの供給(増加)と、自身の崩壊(減衰)のバランスで決まる。

やはり $t e^{- λ t}$ の形になり、ある時刻でピークを迎える。

例 $3$ : 待ち行列・故障率。

製品の故障率も、この形をとることがある(初期不良で増え、その後は安定して減る)。

なぜ、これほど普遍的なのか。

「何かが供給され、同時に一定の割合で失われていく」という状況が、世界にありふれているからだ。

$\frac{d y}{d t} = (供給) - (失われる分)$

失われる分が現在量に比例する( $- λ y$ )なら、指数的減衰が生まれる。

この構造は、微分方程式で書ける。

$y^{'} = - y + (入力)$

そして、この解に $t e^{- t}$ が現れる。

極大値 $\frac{1}{e} \approx 0.368$ という数も、示唆的だ。

$x = 1$ 、つまり「時定数」と呼ばれる特徴的な時間で、ピークを迎える。

$\frac{1}{e}$ という数は、工学のあちこちに顔を出す。 「 $63%$ 充電されるまでの時間」「信号が $37%$ に減衰するまでの時間」— どれも $\frac{1}{e}$ が基準になっている。

$x e^{- x}$ の極大値を求める、という教科書の問題。

その答え $\frac{1}{e}$ は、薬が最も効く瞬間の濃度であり、回路が充電される速さであり、原子が崩壊するリズムでもある。

答

極大値 $\frac{1}{e}$ ( $x = 1$ )

別解

この関数の"性格"を、 $2$ つの力のせめぎ合いとして読む。

$y = x e^{- x}$ は、 $2$ つの部分の積だ。

$x$ — どこまでも大きくなろうとする(増加の力)
$e^{- x}$ — 猛烈な勢いで $0$ に向かう(減衰の力)

$2$ つの力が、綱引きをしている。

$x$ が小さいうちは、増加の力が勝つ。 $x$ が $0$ から $1$ に増えると、 $x$ 自体は $1$ 倍から $1$ 倍へ大きくなるが、 $e^{- x}$ の減り方はまだ緩やかだ。

$x$ が大きくなると、減衰の力が圧勝する。 指数関数の減り方は、 $1$ 次関数の増え方より、圧倒的に速いからだ。

どこかで、力関係が逆転する。それが極大点だ。

数値で見てみよう。

$f (0) = 0, f (0.5) = 0.303, f (1) = 0.368, f (2) = 0.271, f (5) = 0.034$

$x = 1$ を頂点として、上がって、下がる。

そして、 $x \to \infty$ では

$x \to \infty lim x e^{- x} = 0$

$0$ に収束する。指数の減衰が、完全に勝つ。

さて、極大点を「対数微分法」で求めてみよう。

両辺の対数をとる( $x > 0$ の範囲で)。

$lo g y = lo g (x e^{- x}) = lo g x + lo g e^{- x} = lo g x - x$

掛け算が、足し算になった。

両辺を微分する。

$\frac{y ^{'}}{y} = \frac{1}{x} - 1$

$y^{'} = 0$ となるのは、 $y \neq = 0$ のもとで $\frac{y ^{'}}{y} = 0$ のとき。

$\frac{1}{x} - 1 = 0 ⟹ x = 1$

極値の候補が、あっさり出た ✓

極大値は

$f (1) = 1 \cdot e^{- 1} = \frac{1}{e}$

本解と同じ ✓

対数微分法の利点。

積の微分をしなくて済む。 $lo g$ が掛け算を足し算に変えてくれるので、微分が単純な引き算になる。

そして、 $\frac{y ^{'}}{y}$ という形が便利だ。

$y > 0$ の範囲では、 $y^{'}$ の符号は $\frac{y ^{'}}{y}$ の符号と一致する。

$\frac{y ^{'}}{y} = \frac{1}{x} - 1 {> 0 < 0 (0 < x < 1) (x > 1)$

符号の判定まで、そのままできる。

「掛け算の関数は、対数をとって足し算にする」 — 微分でも、符号判定でも、この一手が効く。

ポイント

$e^{- x} > 0$ → 符号は残りの因数で決まる。
正→負で極大。極大値 $\frac{1}{e}$ 。

よくある間違い

$e^{- x}$ の微分を $e^{- x}$ としてしまい、マイナスを落とす。内側 $- x$ の微分は $- 1$ なので $(e^{- x})^{'} = - e^{- x}$
$y^{'} = 0$ を解くとき、 $e^{- x} = 0$ という解も探してしまう。指数関数は決して $0$ にならない
$y^{'} = 0$ となる $x = 1$ を見つけて、それだけで「極大」と決めつける。前後の符号変化(増加 → 減少)を確認して初めて極大と言える