log x / x の最大値

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最大値は「$f^{\prime }=0$ を求め、増減で最大を確認」。

$f(x)=\frac{\log x}{x}$ は商なので商の微分。

分母 $x^2$ はつねに正だから、$f^{\prime }$ の符号は分子だけで決まる。ここを見抜くと符号調べが楽。

$f^{\prime }=0$ の $x$ を求め、その前後で増加→減少なら極大かつ最大、と見通す。

① $f^{\prime }$ を求める。 $f=\frac{\log x}{x}$ で $(\log x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}$、$(x{)}^{\prime }=1$ より

$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x\cdot 1}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

② $f^{\prime }=0$ と符号。 $x^2>0$ なので符号は $1-\log x$。$f^{\prime }=0$ は $\log x=1$、$x=e$。$x<e$ で $\log x<1$ より $f^{\prime }>0$(増加)、$x>e$ で $f^{\prime }<0$(減少)。

③ 最大値。 $x=e$ で増加から減少に変わるので、そこが最大。

$$f(e)=\frac{\log e}{e}=\frac{1}{e}$$

まとめ:$\frac{\log x}{x}$ の最大は「商の微分 → 分子 $1-\log x$ の符号」。$x=e$ で増加から減少に転じ、最大値 $\frac{1}{e}$。分母 $x^2>0$ を使って符号判定を分子だけにするのがコツ。この $\frac{1}{e}$ は $e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小などにも応用される有名な最大値。

発展 — 一歩先へ。 この最大値 $\frac{1}{e}$ から、すべての $x>0$ で $\frac{\log x}{x}\le \frac{1}{e}$ が言える。両辺に $x$ を掛けて整理すると $e\log x\le x$、すなわち $x^e\le e^x$。

ここに $x=\pi$ を入れると ${\pi }^e\le e^{\pi }$。等号は $x=e$ のときだけなので $\pi \ne e$ より ${\pi }^e<e^{\pi }$。「$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ はどちらが大きいか」という有名問題が、この最大値ひとつで片づく。

たった $1$ つの関数の最大値が、無限個の不等式($x^e\le e^x$)をまとめて生む。最大・最小の計算は、不等式を作る強力な道具でもある。

別解

別解 — $x^{1/x}$ の最大に読みかえる(得意な人向けの視点)。 $\frac{\log x}{x}$ は、じつは $x^{1/x}$ の対数。

$$\frac{\log x}{x}=\frac{1}{x}\log x=\log \left(x^{1/x}\right).$$

対数は増加関数だから、$\frac{\log x}{x}$ が最大になるのと、$x^{1/x}$ が最大になるのは同じ $x$。「どの数の $1$ 乗根が最大か」を問うている、と読みかえられる。

$x^{1/x}$(たとえば $\sqrt[2]{2},\sqrt[3]{3},\dots$ の連続版)は $x=e$ で最大値 $e^{1/e}$。その対数が $\frac{1}{e}$ だから、$\frac{\log x}{x}$ の最大も $\frac{1}{e}$。

商の微分で $\frac{1-\log x}{x^2}$ を調べる本解と同じ。$\frac{\log x}{x}=\log (x^{1/x})$ という読みかえは、$\sqrt[3]{3}$ と $\sqrt[2]{2}$ の大小といった問題にも直結する。