最大・最小(x²eˉˣ)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x\geqq 0$ での最大値 — 候補は「$y^{\prime }=0$ の点」と「端 $x=0$」、それに「$x\to \infty$ の行き先」の吟味だ。

積の微分で $y^{\prime }=x(2-x)e^{-x}$。$e^{-x}>0$ なので符号は $x(2-x)$ — $0<x<2$ で増加、$x>2$ で減少。

$x=2$ が山頂で、最大値は $y(2)=\frac{4}{e^2}$。$x\to \infty$ で $y\to 0$(指数の減衰が多項式に勝つ)だから、この山頂を超えるものはない。

① $y^{\prime }$ を求める。

$$y^{\prime }=2x{e}^{-x}+x^2(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$$

② $y^{\prime }=0$ を解く。 $e^{-x}>0$ なので $x=0,2$。

③ 増減を調べる。 $x(2-x)$ は $0<x<2$ で正、$x>2$ で負。よって $x=2$ で極大。$x\to \infty$ で $y\to 0$、$x=0$ で $y=0$ なので、$x=2$ の極大が最大。

$$y(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}$$

まとめ:$x^2{e}^{-x}$($x\geqq 0$)は $x=2$ で最大 $\frac{4}{e^2}$。両端($x=0$ と $x\to \infty$)でともに $0$ に向かうので、途中の極大がそのまま最大になる。$e^{-x}>0$ で符号を $x(2-x)$ に集約するのが要だ。

発展 — 一歩先へ。 一般化すると $y=x^n{e}^{-x}$ の山頂は $x=n$(対数化なら $\frac{n}{x}-1=0$ の $1$ 行)。「$n$ 乗の押し上げと指数の引き下げが釣り合う場所が $x=n$」という覚えやすい規則になる。この関数族はガンマ関数・ポアソン分布など、確率と解析の要所で主役を張る。

$x\to \infty$ で $x^2{e}^{-x}\to 0$ — どんな多項式も指数の減衰には勝てない、という事実が「極大 $=$ 最大」の裏付けだった。増減表の右端の吟味は、この極限の知識と一体で初めて完結する。

別解

積の形の最大化は、対数をとってから微分すると計算が軽くなる($x>0$ で $y>0$ だから対数がとれる)。

$$\log y=2\log x-x$$

積が和に、指数が係数に変わった。最大の場所を探すには、この $\log y$ を微分すればよい($\log$ は増加関数なので、$y$ が最大の場所と $\log y$ が最大の場所は同じ)。

$$(\log y{)}^{\prime }=\frac{2}{x}-1=0⟺x=2$$

積の微分公式なしで、山頂の位置が $2$ 行で出た。値はもとの式に戻して $y(2)=\frac{4}{e^2}$。

この「対数化してから最大化」は、$x^3{e}^{-2x}$ でも $\frac{e^x}{x^5}$ でも同じに効く。積・商・べき・指数の混ざった正の関数の最大最小は、まず $\log$ — 対数微分法の、最適化版の使い方である。