変曲点(eˉˣ²)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 変曲点は「曲がり方(凹凸)が切り替わる点」— 道具は第 $2$ 次導関数だ。$y^{\prime \prime }=0$ を解き、その前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が変わることを確かめる。

$y=e^{-x^2}$ は合成関数。$1$ 回目の微分で $-2x{e}^{-x^2}$、$2$ 回目は積 $+$ 合成で

$$y^{\prime \prime }=(4x^2-2)e^{-x^2}$$

$e^{-x^2}>0$ だから、符号は $4x^2-2$ だけで決まる。$y^{\prime \prime }=0$ は $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ — 釣鐘の左右の「肩」の位置である。

① $y^{\prime }$ を求める。 合成関数。$(e^{-x^2}{)}^{\prime }=e^{-x^2}\cdot (-2x)$。

$$y^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}$$

② $y^{\prime \prime }$ を求める。 積の微分。

$$y^{\prime \prime }=-2e^{-x^2}+(-2x)(-2x{e}^{-x^2})=(-2+4x^2)e^{-x^2}$$

③ $y^{\prime \prime }=0$ を解く。 $e^{-x^2}>0$ なので $4x^2-2=0$、$x^2=\frac{1}{2}$。

$$x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$$

(

前後で $y^{\prime \prime }$ の符号が変わるので、確かに変曲点。)

まとめ:$e^{-x^2}$ は釣鐘型(正規分布の形)。変曲点は $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ の $2$ か所で、ここで曲がり方が「上に凸 → 下に凸」に切りかわる。$y^{\prime \prime }$ を合成 + 積の微分で正確に出すのがヤマだ。

発展 — 一歩先へ。 変曲点の意味を運転にたとえると「ハンドルを切り返す瞬間」。山頂からの下り坂は、最初は緩み(上に凸)、肩を過ぎると裾へ向けて曲がりが反転する(下に凸)— スキーのコブの形と同じだ。傾き $y^{\prime }=-2x{e}^{-x^2}$ が最も急になる場所でもある(下りの最急点 $=$ 変曲点)。

この曲線 $e^{-x^2}$ はガウス関数と呼ばれ、確率だけでなく熱の拡散・画像のぼかし処理・誤差理論まで、「散らばり」を記述するあらゆる場面の主役。その形の要点が $\pm \sigma$ の肩の位置、というのが今回の計算だった。

別解

この釣鐘、統計の正規分布の曲線そのものだ。答えの $\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ にも統計の名前がついている。

正規分布の密度曲線は $e^{-\frac{x^2}{2{\sigma }^2}}$ の形($\sigma$ は標準偏差)。今回の $e^{-x^2}$ と指数を見比べると

$$\frac{x^2}{2{\sigma }^2}=x^2⟺2{\sigma }^2=1⟺\sigma =\frac{1}{\sqrt{2}}$$

つまり $y=e^{-x^2}$ は「標準偏差 $\frac{1}{\sqrt{2}}$ の釣鐘」で、変曲点 $x=\pm \frac{1}{\sqrt{2}}$ はちょうど $\pm \sigma$ の位置にある。

これは偶然ではない。どんな正規分布でも、変曲点は平均から $\pm \sigma$ — 「釣鐘の肩(凸から凹に変わる場所)までの距離が標準偏差」という一般法則だ。数Bで $\pm \sigma$ に $68\%$ が入ると習ったあの目盛りは、実は曲線の曲がり方の切り替え点として、グラフに目で見える形で刻まれている。

微分の計算が、統計の中心概念の幾何学的な意味を照らす — 単元をまたぐ良い眺めである。