平均値の定理と不等式

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均値の定理は「区間の平均の傾き $=$ どこかの瞬間の傾き」という保証だ。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)(a<c<b)$$

$f(x)=\log x$、区間 $[1,b]$ で使うと

$$\frac{\log b-0}{b-1}=\frac{1}{c}(1<c<b)$$

ここで $c$ の居場所の情報が武器になる。$c>1$ だから $\frac{1}{c}<1$ — 左辺も $1$ 未満で、分母 $b-1>0$ を掛ければ $\log b<b-1$。「$c$ の値は分からないが、範囲は分かる」を評価に変えるのが、この定理の使い方だ。

① $f(x)=\log x$ に平均値の定理を使う。 区間 $[1,b]$。$f(1)=0$、$f^{\prime }(x)=\frac{1}{x}$。

$$\frac{\log b-\log 1}{b-1}=f^{\prime }(c)=\frac{1}{c}(1<c<b)$$

すなわち $\frac{\log b}{b-1}=\frac{1}{c}$。

② $c$ の範囲から評価する。 $c>1$ なので $\frac{1}{c}<1$。よって

$$\frac{\log b}{b-1}<1$$

③ 不等式を導く。 $b-1>0$ なので両辺に $b-1$ をかけても向きは変わらない。

$$\log b<b-1$$

まとめ:平均値の定理は不等式証明の強力な道具。「平均変化率 $=f^{\prime }(c)$」の $f^{\prime }(c)=\frac{1}{c}$ を、$c$ の範囲($1<c<b$)で上下から評価する。$c>1$ から $\frac{1}{c}<1$ が出て、$\log b<b-1$ が従う。

発展 — 一歩先へ。 左側の不等式 $\frac{b-1}{b}<\log b$ も同じ $1$ 行から出る。$c<b$ より $\frac{1}{c}>\frac{1}{b}$ — $c$ の範囲の両端を使えば、$\log b$ が $\frac{b-1}{b}$ と $b-1$ に挟まれる。$b=1+\frac{1}{n}$ を代入して整理すると ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<e<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$ — $e$ の定義に関わる有名な挟み込みが、この問題の直系の子孫だ。

平均値の定理は「関数の差を導関数で見積もる」装置として、極限(はさみうちの材料作り)・数列の収束・誤差評価まで、数IIIの証明問題の縁の下を支え続ける。

別解

同じ不等式を、凸性と接線の絵で見ることもできる。

$y=\log x$ は $y^{\prime \prime }=-\frac{1}{x^2}<0$ — どこでも上に凸の曲線だ。上に凸な曲線は、どの接線よりも下にある(接点でだけ触れる)。

$x=1$ での接線を求めると、$\log 1=0$ を通り傾き $1$ で

$$y=x-1$$

よって $\log x\leqq x-1$(等号は $x=1$ のみ)— $b>1$ なら $\log b<b-1$ で、示すべき不等式そのものだ。

これは指数の不等式 $e^x\geqq 1+x$(下に凸は接線の上)とちょうど鏡の関係にある。実際、$e^x\geqq 1+x$ の両辺の対数をとる(または $x$ を $\log b$ に置き換える)と $\log b\leqq b-1$ が出てくる — $2$ つの基本不等式は $1$ つの事実の表裏だ。

平均値の定理(本解)は「区間の傾きを瞬間の傾きで挟む」、凸性(この別解)は「曲線を接線で挟む」— どちらも「分からない量を、分かる幾何で押さえる」評価の思想である。