極値(指数と2乗の積)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値は「$f^{\prime }(x)=0$ を求め、その前後の符号で極大・極小を判定」。

$f(x)=x^2{e}^{-x}$ は積なので、積の微分で $f^{\prime }$ を計算する。

$e^{-x}$ はつねに正だから、$f^{\prime }$ の符号は残りの因数だけで決まる。ここを見抜くと符号調べが楽。

$f^{\prime }=0$ の $x$ を求め、増減表で極大・極小を分ける、と見通す。

① $f^{\prime }$ を求める。 積の微分で($(e^{-x}{)}^{\prime }=-e^{-x}$)

$$f^{\prime }(x)=2x{e}^{-x}+x^2(-e^{-x})=(2x-x^2)e^{-x}=x(2-x)e^{-x}$$

② $f^{\prime }=0$ を解く。 $e^{-x}>0$ なので $x(2-x)=0$、すなわち $x=0,2$。

③ 増減表で判定する。 $x(2-x)$ の符号は、$x<0$ で負、$0<x<2$ で正、$x>2$ で負。よって

• $x=0$:$f^{\prime }$ が 負→正 で極小。$f(0)=0$。
• $x=2$:$f^{\prime }$ が 正→負 で極大。$f(2)=4e^{-2}=\frac{4}{e^2}$。

まとめ:極値は「$f^{\prime }=0$ + 前後の符号」。$e^{-x}>0$ を使えば符号は $x(2-x)$ だけで決まる。$x=0$ で極小 $0$、$x=2$ で極大 $\frac{4}{e^2}$。増減表を書くと判定が確実。

発展 — 一歩先へ。 $x^2{e}^{-x}$ のような「べき $\times$ 指数減衰」の形は、統計や物理で頻出する山型。ピーク(極大)は $x=2$ にくる。

じつは $x^n{e}^{-x}$ の極大はいつも $x=n$。微分すると $x^{n-1}(n-x)e^{-x}$ で、正の側の零点が $x=n$ だからだ。ガンマ分布の密度がこの形で、$x=n$ が最も現れやすい値(最頻値)にあたる。

$x\to \infty$ で $f\to 0$ になるのは、指数減衰 $e^{-x}$ がべき $x^2$ に打ち勝つから。「指数は多項式に勝つ」がここでも効いている。

別解

別解 — 対数微分で極値の場所を出す(得意な人向けの視点)。 正の範囲では、$f$ の対数をとって微分すると符号調べが軽くなる。

$x>0$ で $\log f=\log (x^2{e}^{-x})=2\log x-x$。両辺を微分すると

$$\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{2}{x}-1.$$

$f>0$($x>0$)だから、$f^{\prime }$ の符号は $\frac{2}{x}-1$ の符号と同じ。これが $0$ になるのは $x=2$。$x<2$ で正(増加)、$x>2$ で負(減少)だから、$x=2$ が極大で $f(2)=\frac{4}{e^2}$。

$x=0$ は $f=0$ で、両側とも $f\ge 0$ だから極小(最小)。

積の微分で $x(2-x)e^{-x}$ を出す本解と同じ。対数微分 $\frac{f^{\prime }}{f}=\frac{2}{x}-1$ は、積・商・べきが混ざった関数の符号を、割り算・引き算に開いて見やすくする。$e^{-x}$ の符号を気にせず済むのが利点だ。