数学III / 微分法の応用

直線上の運動(速度・加速度)

★★★★ 難関速度加速度

問題

数直線上を動く点 $P$ の時刻 $t$ における座標が $x = t^{3} - 3 t$ で与えられている。点 $P$ の速度 $v$ と加速度 $α$ を $t$ で表し、速度が $0$ になる時刻をすべて求めよ。

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速度は座標を時刻で微分したもの、加速度は速度を時刻で微分したもの。 $v = 0$ となる $t$ を求める。

解答・解説

速度は座標の時間微分 $v = \frac{d x}{d t}$ 、加速度は速度の時間微分 $α = \frac{d v}{d t}$ 。 $v = 0$ を解いて時刻を求める。

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 直線運動では、速度は「座標を時刻 $t$ で微分」、加速度は「速度を $t$ で微分」。

だから $x = t^{3} - 3 t$ を順に微分して $v$ 、 $α$ を出す。

速度が $0$ になる時刻は、 $v = 0$ の方程式を解く。

位置 → 速度 → 加速度が微分でつながっている、という関係が基本、と見通す。

公式速度

v = \frac{d x}{d t}

、加速度

α = \frac{d v}{d t} = \frac{d ^{2} x}{d t ^{2}}

① 速度。 $x = t^{3} - 3 t$ を $t$ で微分して

$v = \frac{d x}{d t} = 3 t^{2} - 3$

② 加速度。 $v$ をさらに微分して

$α = \frac{d v}{d t} = 6 t$

③ 速度が $0$ の時刻。 $v = 3 t^{2} - 3 = 3 (t^{2} - 1) = 3 (t - 1) (t + 1) = 0$ より

$t = 1, - 1$

点Pの座標 x=t³−3t。速度 v=3t²−3、t=±1 で v=0(向きが変わる)

まとめ:直線運動は「位置 $微分$ 速度 $微分$ 加速度」。 $x = t^{3} - 3 t$ から $v = 3 t^{2} - 3$ 、 $α = 6 t$ 。速度 $0$ は $v = 0$ を解いて $t = \pm 1$ (このとき点は運動の向きを変える)。

発展 — 一歩先へ。 速度が $0$ で加速度が $0$ でない時刻は、点が一瞬止まって向きを変える「折り返し点」。 $t = \pm 1$ がそれで、 $v$ の符号がそこで入れかわる。

もし $v = 0$ かつ $α = 0$ なら、止まっても向きを変えずに進み続ける(停留の変曲)こともある。 $v = 0$ だけでは「向きが変わる」とは断定できない、という点が要注意。

加速度の符号は、位置の凹凸(=位置の極大・極小)を教える。 $t = - 1$ で $α < 0$ だから位置は極大( $x = 2$ )、 $t = 1$ で $α > 0$ だから位置は極小( $x = - 2$ )。位置・速度・加速度は、微分で結ばれた一つの物語だ。

答

$v = 3 t^{2} - 3$ 、 $α = 6 t$ 。速度が $0$ になるのは $t = \pm 1$

別解 — 折り返し点として運動を読む(得意な人向けの視点)。 $v = 0$ の時刻を、ただ求めるだけでなく、加速度の符号で「どちらの折り返しか」まで見分けられる。

速度 $v = 3 t^{2} - 3 = 3 (t - 1) (t + 1)$ が $0$ になるのは $t = \pm 1$ 。この $2$ 点で点 P は運動の向きを変える。

そこでの加速度 $α = 6 t$ を見る。

つまり P は右へ進んで $t = - 1$ に $x = 2$ で折り返し、左へ動いて $t = 1$ に $x = - 2$ で折り返し、また右へ。

微分して $v, α$ を出す本解に、「運動の様子」の読み取りを重ねた形。 $v = 0$ が折り返し、 $α$ の符号がその折り返しの向き(右端か左端か)を教える。数式が運動の絵に変わる。