第2次導関数による極値判定

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値判定の第 $2$ の方法 — 増減表(符号表)の代わりに、$y^{\prime \prime }$ の符号を使う。

$y^{\prime }=0$ の候補の点で

• $y^{\prime \prime }>0$ なら、そこは下に凸の底 — 極小
• $y^{\prime \prime }<0$ なら、上に凸の頂 — 極大

$y^{\prime }=3x^2-3=0$ から $x=\pm 1$。$y^{\prime \prime }=6x$ に入れて、$x=1$ では $y^{\prime \prime }=6>0$(極小)、$x=-1$ では $y^{\prime \prime }=-6<0$(極大)。符号表を書かず、点の情報 $2$ つで判定が終わる。

① $y^{\prime }=0$ の点を求める。 $y^{\prime }=3x^2-3=0$ より $x=\pm 1$。

② 各点で $y^{\prime \prime }$ の符号を調べる。 $y^{\prime \prime }=6x$。

• $x=-1$:$y^{\prime \prime }(-1)=-6<0$ なので極大。$y(-1)=-1+3=2$。
• $x=1$:$y^{\prime \prime }(1)=6>0$ なので極小。$y(1)=1-3=-2$。

$$\text{極大値 }2(x=-1),\text{極小値 }-2(x=1)$$

まとめ:$y^{\prime \prime }$ の符号で極値を判定する方法。$y^{\prime \prime }>0$(下に凸=谷)なら極小、$y^{\prime \prime }<0$(上に凸=山)なら極大。符号表を書く方法と結果は同じだが、$y^{\prime \prime }$ が計算しやすいときはこちらが速い。

発展 — 一歩先へ。 $y^{\prime \prime }$ 判定の中身は「候補点のまわりで曲線がどちらに曲がっているか」— 物理でいえば、速度 $0$ の点で加速度の符号を見て折り返しの向きを知るのと同じ論法だ(速度と加速度の問題がまさにこの配置だった)。

$y^{\prime \prime }=0$ で保留になったら、$y^{\prime \prime \prime },y^{\prime \prime \prime \prime }$ と先を見る一般判定もある($x^4$ なら $4$ 階で初めて非零、偶数階で正なら極小)。高階の情報で局所の形を読む — この考えの行き着く先も、やはりテイラー展開である。

別解

$y^{\prime \prime }$ 判定と増減表判定の使い分けと限界を、実例で押さえておこう。

まず今回を増減表で解くと: $y^{\prime }=3(x-1)(x+1)$ の符号は $+\to -\to +$ — $x=-1$ で極大、$x=1$ で極小。$y^{\prime \prime }$ 判定と同じ結論で、どちらでも正しい。

では $y^{\prime \prime }$ 判定はいつでも使えるか — 使えない場合がある。$y=x^4$ を見てほしい。$y^{\prime }=4x^3$ は $x=0$ で $0$、そして $y^{\prime \prime }=12x^2$ も $x=0$ で $0$。判定条件($y^{\prime \prime }$ の符号)が空振りする。実際には $x=0$ は極小(グラフは平底の谷)だが、それは増減表($y^{\prime }$ が $-\to +$)でしか確認できない。

まとめると

• $y^{\prime \prime }$ 判定: 候補点の値 $1$ つで済み速い。ただし $y^{\prime \prime }=0$ のときは判定保留
• 増減表: 手間はかかるが、どんな場合も白黒がつく万能版

「まず $y^{\prime \prime }$、ダメなら増減表」の二段構えが実戦の型。$y^{\prime \prime }$ 判定は増減表の近道であって、置き換えではない。