(1+1/x)^x が増加すること

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $e$ の定義でおなじみの $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ の関数版だ。累乗のままでは扱えないから、対数を取って $g(x)=x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)$ の増加を示す方針にする。

微分すると $g^{\prime }(x)=\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}$。符号が即読できない。

そこで $t=\frac{1}{x}$ と置き換えると、示すべきは $\log (1+t)>\frac{t}{1+t}$($t>0$)という1変数の補題になる。補題を先に微分で潰してから本体に戻る、2段構えの設計だ。

① 対数を取って微分する。 $g(x)=\log f(x)=x\log \left(1+\frac{1}{x}\right)$。積の微分で

$$g^{\prime }(x)=\log \left(1+\frac{1}{x}\right)+x\cdot \frac{-\frac{1}{x^2}}{1+\frac{1}{x}}=\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}$$

② 補題を示す。 $h(t)=\log (1+t)-\frac{t}{1+t}$($t\ge 0$)とおくと $h(0)=0$ で

$$h^{\prime }(t)=\frac{1}{1+t}-\frac{(1+t)-t}{(1+t{)}^2}=\frac{1}{1+t}-\frac{1}{(1+t{)}^2}=\frac{t}{(1+t{)}^2}>0(t>0)$$

よって $t>0$ で $h(t)>0$、すなわち $\log (1+t)>\frac{t}{1+t}$。

③ 本体に戻す。 $t=\frac{1}{x}>0$ を補題に代入すると

$$\log \left(1+\frac{1}{x}\right)>\frac{\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=\frac{1}{x+1}$$

よって $g^{\prime }(x)>0$ — $g$ は増加し、$f=e^g$ も($e^u$ が増加関数だから)増加する。

まとめ: 「対数を取って微分 → 現れた不等式を補題に切り出して先に潰す」— 単調性証明の職人的な段取り。この事実は、数列 $(1+\frac{1}{n}{)}^n$ が単調に $e$ に迫っていくことの関数版でもある。

発展 — 一歩先へ。 相方の $G(x)={\left(1+\frac{1}{x}\right)}^{x+1}$ は逆に減少することが同じ道具で示せる。増加する $f$ と減少する $G$ は、どちらも $e$ に収束し、$e$ を両側から挟む: ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n<e<{\left(1+\frac{1}{n}\right)}^{n+1}$。$e$ の近似値を上下から保証するこの挟み撃ちは、$e$ が無理数であることの証明などの土台になる。

別解

平均値の定理で一撃(補題が消える)。 $g^{\prime }(x)=\log \left(1+\frac{1}{x}\right)-\frac{1}{x+1}$ の第1項を、平均値の定理で読み替える。

$\log$ に区間 $[x,x+1]$ で平均値の定理を使うと、ある $c$($x<c<x+1$)があって

$$\log (x+1)-\log x=\frac{(x+1)-x}{c}=\frac{1}{c}$$

左辺は $\log \left(1+\frac{1}{x}\right)$ そのもの。そして $c<x+1$ だから

$$\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{c}>\frac{1}{x+1}$$

これで $g^{\prime }(x)>0$ が即座に出る。補題の構築(本解の②)がまるごと不要になった。

「$\log$ の差は $\frac{1}{c}$($c$ は間のどこか)」という平均値の定理の使い方は、対数のからむ不等式の万能ナイフだ。本解の補題 $\log (1+t)>\frac{t}{1+t}$ は、実はこの $c<x+1$ の言い換えだったことも見えてくる。