不等式の証明(微分の利用)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 不等式 $A\ge B$ は「$g(x)=A-B$ とおいて $g(x)\ge 0$ を示す」。

まず $g(0)=0$ を確認する。起点で等号が成り立つなら、あとは $x\ge 0$ で $g$ が増加していけばよい。

$g$ の増加は $g^{\prime }\ge 0$ で言える。$g^{\prime }$ の符号がすぐ分からなければ、$g^{\prime }$ をさらに微分して調べる。

「$g^{\prime \prime }\ge 0$ なら $g^{\prime }$ 増加、$g^{\prime }(0)=0$ なら $g^{\prime }\ge 0$」と、微分を重ねて押し上げる、と見通す。

① 差をおく。 $g(x)=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ とおく。$g(0)=1-1-0-0=0$。

② $g^{\prime }$ を調べる。

$$g^{\prime }(x)=e^x-1-x$$

$g^{\prime }(0)=1-1-0=0$。$g^{\prime }$ の符号を見るため、さらに微分すると $g^{\prime \prime }(x)=e^x-1$。$x\ge 0$ で $e^x\ge 1$ より $g^{\prime \prime }(x)\ge 0$、すなわち $g^{\prime }$ は増加。$g^{\prime }(0)=0$ だから $x\ge 0$ で $g^{\prime }(x)\ge 0$。

③ $g$ の増加。 $x\ge 0$ で $g^{\prime }(x)\ge 0$ より $g$ は増加。$g(0)=0$ だから $x\ge 0$ で

$$g(x)\ge g(0)=0$$

すなわち $e^x-1-x-\frac{x^2}{2}\ge 0$、よって $e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}$。(証明終)

まとめ:不等式は「差 $g=A-B$ の最小値 $\ge 0$」。$g^{\prime }$ の符号が不明なら $g^{\prime \prime }$ まで下りる。$g^{\prime \prime }\ge 0\Rightarrow g^{\prime }$ 増加、$g^{\prime }(0)=0\Rightarrow g^{\prime }\ge 0\Rightarrow g$ 増加、$g(0)=0\Rightarrow g\ge 0$、と階段状に押し上げる。

発展 — 一歩先へ。 この不等式 $e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}$ は、$e^x$ のテイラー展開 $1+x+\frac{x^2}{2}+\frac{x^3}{6}+\cdots$ の途中まで(第 $2$ 次まで)を取り出したもの。$x\ge 0$では捨てた残りがすべて正なので、途中で切った式は下からの評価になる。

同じ理屈で、$e^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$ が $x\ge 0$ でつねに成り立つ。次数を上げるほど、下からの近似が精しくなる。

証明も「積分で $1$ 段ずつ持ち上げる」やり方でつながる。$e^t\ge 1$ を積分すると $e^x\ge 1+x$、それをまた積分すると $2$ 次まで、と階段を上れる。テイラー展開は、この積み上げの極限だ。

別解

別解 — 簡単な不等式を積分して持ち上げる(得意な人向けの視点)。 より基本の不等式 $e^t\ge 1+t$($t\ge 0$)から出発し、積分で目標へ引き上げる。

$e^t\ge 1+t$ は、差を微分すればすぐ示せる基本の不等式。両辺を $0$ から $x$ まで積分する($x\ge 0$)。左辺は ${\int }_0^x{e}^{t}dt=e^x-1$、右辺は ${\int }_0^x(1+t)dt=x+\frac{x^2}{2}$。積分は不等号の向きを保つので

$$e^x-1\ge x+\frac{x^2}{2},\text{すなわち}{e}^x\ge 1+x+\frac{x^2}{2}.$$

差 $g=e^x-1-x-\frac{x^2}{2}$ の増減で示す本解と同じ。「弱い不等式を積分して強い不等式に育てる」この手は、$1$ 段上げるごとに次数が $1$ つ上がる。$e^x\ge 1$ から始めれば、$1$ 次・$2$ 次・$3$ 次…と好きなだけ精度を上げられる。