平均値の定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均値の定理は「区間の平均変化率に等しい接線の傾き $f^{\prime }(c)$ が、区間内のどこかにある」という主張。

だから、まず平均変化率 $\frac{f(2)-f(1)}{2-1}$ を計算する。

それを $f^{\prime }(c)=3c^2$ と等しいとおいて、$c$ の方程式を解く。

出た解のうち、$1<c<2$ の範囲にあるものを選ぶ、と見通す。

① 平均変化率。 $f(x)=x^3$ で $f(1)=1$、$f(2)=8$。

$$\frac{f(2)-f(1)}{2-1}=\frac{8-1}{1}=7$$

② $f^{\prime }(c)$ と等しいとおく。 $f^{\prime }(x)=3x^2$ より $f^{\prime }(c)=3c^2$。平均値の定理から

$$3c^2=7⟹c^2=\frac{7}{3}⟹c=\pm \sqrt{\frac{7}{3}}$$

③ 範囲で選ぶ。 $1<c<2$ を満たすのは $c=\sqrt{\frac{7}{3}}$($\approx 1.53$)。

まとめ:平均値の定理は「平均変化率 $=f^{\prime }(c)$」。左辺 $\frac{8-1}{1}=7$ を $3c^2$ と等しいとおき、$c=\sqrt{7/3}$。負の解は範囲 $1<c<2$ 外で除く。$c$ は「その区間で接線が弦と平行になる点」の $x$ 座標。

発展 — 一歩先へ。 $c$ は「弦 AB に平行な接線をもつ点」の $x$ 座標。$f=x^3$ で区間 $[a,b]$ なら、割線の傾きは $\frac{b^3-a^3}{b-a}=a^2+ab+b^2$。これを $3c^2$ と等しくおくと、一般に $c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}$。

区間 $[1,2]$ ではこれが $\sqrt{\frac{7}{3}}\approx 1.53$。中点 $1.5$ より少し右にずれる。曲線が上に反っている(下に凸)ぶん、平行になる点が中点より右へ寄る。

区間を狭めていくと、$a\to b$ で $c\to a$、つまり中点に近づく。小さい区間では「平均変化率 $\approx$ 中点での傾き」が成り立つ。平均値の定理は、微分の近似の背骨になっている。

別解

別解 — 一般の区間 $[a,b]$ で公式化してから代入する(得意な人向けの視点)。 数値を先に入れず、$f=x^3$ の平均値の定理を文字のまま解いておく。

区間 $[a,b]$ の割線の傾きは、$3$ 次式の差の因数分解から

$$\frac{b^3-a^3}{b-a}=b^2+ab+a^2.$$

平均値の定理より $3c^2=a^2+ab+b^2$、すなわち

$$c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}.$$

ここに $a=1$、$b=2$ を入れると $c=\sqrt{\frac{1+2+4}{3}}=\sqrt{\frac{7}{3}}$。$1<c<2$ を満たすのでこれが答え(負号は範囲外)。

具体値で $3c^2=7$ を解く本解と同じ。文字で解いておくと、区間を変えても代入するだけ。$c=\sqrt{\frac{a^2+ab+b^2}{3}}$ が中点 $\frac{a+b}{2}$ より右にくるのは、$3$ 次関数が下に凸だからだと見て取れる。