対数を含む不定形の極限(1次近似の把握)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $x-x^2\log \left(1+\frac{1}{x}\right)$ は $\infty -\infty$ の不定形。$x\to \infty$ を $t=\frac{1}{x}\to 0$ に置き換えると見通しがよい。

置換すると式は $\frac{t-\log (1+t)}{t^2}$ の形になる($x=\frac{1}{t}$ でくくる)。

分子 $t-\log (1+t)$ は、$\log (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\cdots$ を使うと主要項が $\frac{t^2}{2}$。$t^2$ で割れば極限 $\frac{1}{2}$ が残る。「$\log (1+t)$ の1次近似では消え、2次の項が効く」のがこの問題の勘所だ。

① 置き換える。 $t=\frac{1}{x}$ とおくと $x\to \infty$ のとき $t\to +0$。$x=\frac{1}{t},x^2=\frac{1}{t^2}$ だから $$x-x^2\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=\frac{1}{t}-\frac{1}{t^2}\log (1+t)=\frac{t-\log (1+t)}{t^2}.$$ ② 展開して主要部を取る。 $\log (1+t)=t-\frac{t^2}{2}+\frac{t^3}{3}-\cdots$ より $t-\log (1+t)=\frac{t^2}{2}-\frac{t^3}{3}+\cdots$。よって $$\frac{t-\log (1+t)}{t^2}=\frac{1}{2}-\frac{t}{3}+\cdots .$$ ③ 極限をとる。 $t\to +0$ で右辺 $\to \frac{1}{2}$。したがって $$\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{x-x^2\log \left(1+\frac{1}{x}\right)\right\}=\frac{1}{2}.$$ (展開を使わず、$\frac{t-\log (1+t)}{t^2}$ に $2$ 回ロピタルの定理を用いても同じ $\frac{1}{2}$ を得る。)

まとめ $\infty -\infty$ は、大きい変数を $t\to 0$ に反転して $\log (1+t)$ の低次展開で“生き残る項”を拾うのが定石。ここでは $t^2$ の係数 $\frac{1}{2}$ が答え。数値でも $x=10^4$ で約 $0.49997$ と $\frac{1}{2}$ に近づく。

発展 — 一歩先へ。 $x^2\log \left(1+\frac{1}{x}\right)=x-\frac{1}{2}+\frac{1}{3x}-\cdots$ と展開でき、$x$ を引くと $-\frac{1}{2}+O\left(\frac{1}{x}\right)$。だから極限は $-\left(-\frac{1}{2}\right)=\frac{1}{2}$。$\log (1+t)$ の2次の係数 $-\frac{1}{2}$ が、そのまま答えに現れる。テイラー展開は「どの次数の項が生き残るか」を系統的に教える、極限計算の設計図だ。

別解

別解 — ロピタルの定理で機械的に(得意な人向けの高い視点)。 $t=\frac{1}{x}\to 0$ とおくと、求める極限は $\frac{t-\log (1+t)}{t^2}$($\frac{0}{0}$ 型)。ロピタルの定理(分子分母を微分)を使う。

$$\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t-\log (1+t)}{t^2}\stackrel{\text{ロピタル}}{=}\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1-\frac{1}{1+t}}{2t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\frac{t}{1+t}}{2t}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{1}{2(1+t)}=\frac{1}{2}.$$

$1$ 回の微分で $\frac{0}{0}$ が解消し、$\frac{1}{2}$ が出た。

テイラー展開(本解)は「$\log (1+t)$ の2次の項が効く」と構造を見せ、ロピタルは「微分して極限」と一直線に計算する。$\frac{0}{0}$ 型を見たらどちらも使えるが、なぜ答えが $\frac{1}{2}$ なのか(2次の係数 $-\frac{1}{2}$ の裏返し)を理解するには、展開の方が納得しやすい。