グラフの概形(log x / x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 極値と遠方の様子 — グラフの骨格調べだ。

商の微分で $y^{\prime }=\frac{1-\log x}{x^2}$。分母は正だから、符号は $1-\log x$ で決まる。$\log x=1$、つまり $x=e$ を境に増加から減少へ — 極大値は $y(e)=\frac{1}{e}$。

遠方は $\frac{\log x}{x}$ — 分母 $x$ の力が $\log$ の成長を圧倒して $y\to 0$。$x$ 軸が右側の漸近線になる。「山がひとつ、右はすそ野」という地形だ。

① 極値を求める。 $y^{\prime }=\frac{1-\log x}{x^2}$。$y^{\prime }=0$ は $\log x=1$、$x=e$。$x<e$ で正、$x>e$ で負。正→負 で極大。

$$y(e)=\frac{1}{e}$$

② 両端の様子を調べる。

• $x\to +0$:$\log x\to -\infty$、$\frac{1}{x}\to +\infty$ なので $y\to -\infty$。
• $x\to \infty$:分母 $x$ が対数 $\log x$ より速く増えるので $y\to 0$。$x$ 軸($y=0$)が漸近線。

まとめ:$\frac{\log x}{x}$ は $x=e$ で極大 $\frac{1}{e}$。$x\to \infty$ で $0$ に近づくのは「多項式は対数より速い」から。原点近くでは $-\infty$ に落ちる。極大 $\frac{1}{e}$ が全体の最大値でもある。

発展 — 一歩先へ。 山の高さが $\frac{1}{e}$ であることから、方程式 $\log x=kx$(直線と対数の交点)の解の個数が読める。$k=\frac{1}{e}$ でちょうど接して $1$ 個、$0<k<\frac{1}{e}$ で $2$ 個、$k>\frac{1}{e}$ で $0$ 個 — 原点からの接線の問題と同じ境界が、この山の頂上として再登場する。

また $2^{1/2}=4^{1/4}$($\approx 1.414$ が $2$ 回現れた)ことに気づいただろうか。$\frac{\log x}{x}$ が同じ値をとる $2$ 点で、これは $2^4=4^2$ という有名な等式の正体。「$x^y=y^x$ となる整数対」の問題も、この山の等高線の話である。

別解

この関数には有名な変装がある。対数の性質で

$$\frac{\log x}{x}=\frac{1}{x}\log x=\log x^{1/x}$$

つまり $y=\log \left(x^{1/x}\right)$ — 「$x$ の $\frac{1}{x}$ 乗」の対数だ。$\log$ は増加関数だから、$y$ が最大になる場所と $x^{1/x}$ が最大になる場所は同じ。

$$x^{1/x}\text{の最大は}x=e\text{のとき}{e}^{1/e}\approx 1.444$$

$1^1=1,2^{1/2}\approx 1.414,3^{1/3}\approx 1.442,4^{1/4}\approx 1.414$ — 整数で試すと $3$ 付近が最大で、真の頂上は $e=2.718\dots$ にある。「自分の逆数乗」の チャンピオンが $e$、という覚え方ができる。

さらにこの山は、有名な大小比較 $e^{\pi }>{\pi }^e$ の種でもある。両辺の対数をとって整理すると $\frac{\log e}{e}$ と $\frac{\log \pi }{\pi }$ の比較になり、山頂 $x=e$ から離れた $\pi$ の方が値が小さい — 山の形がそのまま答えを出す。