e^π と π^e の大小

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 どちらも巨大な数で、直接計算は不可能だ。累乗の比較は対数が定石で、$\pi \log e$ と $e\log \pi$ の比較になる。

ここで両辺を $e\pi$ で割ると、$\frac{\log e}{e}$ と $\frac{\log \pi }{\pi }$。同じ関数 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ の、$x=e$ と $x=\pi$ での値比べに化けた。

あとは $f$ の増減表だけの話だ。比較問題は「共通の関数を自分で設計する」のが急所になる。

① 対数化して翻訳する。 どちらも正だから

$$e^{\pi }>{\pi }^e⟺\pi \log e>e\log \pi ⟺\frac{\log e}{e}>\frac{\log \pi }{\pi }$$

② $f(x)=\frac{\log x}{x}$ の増減。

$$f^{\prime }(x)=\frac{\frac{1}{x}\cdot x-\log x}{x^2}=\frac{1-\log x}{x^2}$$

よって $x>e$ で $f^{\prime }(x)<0$ — $f$ は $x\ge e$ で減少する($x=e$ で最大値 $\frac{1}{e}$)。

③ 結論。 $e<\pi$ で、$f$ は $[e,\pi ]$ 上で減少するから

$$f(e)>f(\pi )⟹e^{\pi }>{\pi }^e$$

まとめ: 「比較したい2数から共通の関数をあぶり出す」— 本問なら $\frac{\log x}{x}$。この関数は $x=e$ で最大になるので、$e$ をまたぐ比較($2^3<3^2$ と $3^4>4^3$ の食い違いなど)もすべてこの1本のグラフの上で説明がつく。

発展 — 一歩先へ。 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ の山(頂上 $x=e$)は、整数の比較も一望にする。$f(2)=f(4)$(つまり $2^4=4^2$)、$f(3)$ が整数で最大(つまり $n^{1/n}$ は $n=3$ で最大、$3^{1/3}>2^{1/2}>5^{1/5}>\cdots$)。「$a^b$ と $b^a$ の大小は、$a,b$ が $e$ のどちら側かで決まる」— 1本の曲線が比較問題の地図になる。

別解

接線不等式で3行(グラフを描かない最短路)。 $e^t>1+t$($t\ne 0$。$y=e^t$ の $t=0$ での接線より上)だけで落ちる。

$t=\frac{\pi }{e}-1>0$ を代入すると

$$e^{\frac{\pi }{e}-1}>1+\left(\frac{\pi }{e}-1\right)=\frac{\pi }{e}⟹e^{\pi /e}>\pi$$

(左の式に $e$ を1回掛けた。)両辺は正だから $e$ 乗しても大小は保たれ

$$e^{\pi }>{\pi }^e$$

増減表もグラフも要らない、3行の証明だ。

本解の $f(x)=\frac{\log x}{x}$ は「この型の比較全部を1本のグラフで見渡す」広角レンズ、接線不等式は「この1問を最速で射抜く」単発の矢。$e^t\ge 1+t$($\log x\le x-1$ と同じもの)がどれほど万能な部品か、この2問(本問と相加相乗)で体感できる。