曲線上の点までの最短距離

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 最短距離を求めたい。距離そのものを微分するのは骨が折れる。

そこで『距離の $2$ 乗』を最小化する。$L(x)=(x-3{)}^2+(x^2{)}^2$ を考える。

$2$ 乗にすれば根号が消える。微分がぐっと楽になる。

これがこの問題の核だ。

① 距離の $2$ 乗を式にする。 放物線上の点は $(x,x^2)$。$\mathrm{A}(3,0)$ との距離の $2$ 乗は

$$L(x)=(x-3{)}^2+(x^2-0{)}^2=(x-3{)}^2+x^4$$

② 微分して $=0$ とおく。

$$L^{\prime }(x)=2(x-3)+4x^3=4x^3+2x-6$$

$$L^{\prime }(x)=0\Rightarrow 2x^3+x-3=0$$

③ 解を求める。 $x=1$ を代入すると $2+1-3=0$ で成り立つ。よって $(x-1)(2x^2+2x+3)=0$。$2x^2+2x+3=0$ は判別式 $4-24<0$ で実数解なし。したがって $x=1$。

最も近い点の $x$ 座標は $x=1$(点 $(1,1)$)。

まとめ:最短距離は「距離² を最小化」が定石(ルートを微分せずに済む)。$L^{\prime }=0$ が $3$ 次方程式 $2x^3+x-3=0$ になり、$x=1$ が解。残りの $2$ 次因数は実数解をもたないので、$x=1$ が唯一の候補だ。

発展 — 一歩先へ。 点 $\mathrm{A}$ を $x$ 軸上で動かしてみる。$\mathrm{A}(a,0)$ からの最短点は、同じ計算で $2x^3+x=a$ を満たす $x$ になる。

この関係を「$a$ を決めると最短点 $x$ が決まる」と読む。逆に $a=2x^3+x$ と見ると、右辺は $x$ について単調増加($6x^2+1>0$)だ。だから $a$ ごとに最短点はちょうど $1$ つに定まる。

$a$ を大きくすると最短点 $x$ も大きくなる。$\mathrm{A}$ が右へ動けば、放物線上の最寄り点も右へずれていく、という自然な対応だ。$x$ 軸上のどこに $\mathrm{A}$ を置いても最寄り点が $1$ つに決まるのは、この単調性のおかげである。

別解

別解 — 最短点で直交する条件を使う(得意な人向けの幾何視点)。 最短距離の点では、線分 $\mathrm{AP}$ が放物線の接線と直交する。この幾何の事実を使えば、微分の「距離²」を経ずに方程式が立つ。

放物線上の点を $\mathrm{P}(t,t^2)$ とする。$\mathrm{P}$ での接線の傾きは $2t$。一方、$\mathrm{A}(3,0)$ と $\mathrm{P}$ を結ぶ線分の傾きは $\frac{t^2-0}{t-3}$。

$\mathrm{AP}$ が接線と垂直なら、$2$ つの傾きの積が $-1$ になる。

$$2t\cdot \frac{t^2}{t-3}=-1⟹2t^3=-(t-3)=3-t⟹2t^3+t-3=0.$$

これは本解の $L^{\prime }(x)=0$ と同じ $3$ 次方程式で、解は $t=1$。最も近い点は $(1,1)$ で、本解と同じ答え。「最短点では線分が接線に垂直」という見方は、放物線に限らず曲線一般で使える。