対数平均と幾何平均の比較

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 右辺(対数平均)と左辺(幾何平均)は、どちらも $a,b$ を $\lambda$ 倍すると $\lambda$ 倍になる同次式だ。つまり本質は比 $\frac{b}{a}$ だけで決まる。

そこで $t=\sqrt{b/a}>1$ とおいて1変数化するのが急所。整理すると、示すべきは

$$\log t<\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)(t>1)$$

という素朴な形になる。差を微分すればぴったり平方 $\frac{(t-1{)}^2}{2t^2}$ が現れて単調増加。$t=1$ の等号から立ち上がる。

① 1変数化する。 $t=\sqrt{b/a}>1$ とおくと $b=a{t}^2$ で

$$\log b-\log a=\log t^2=2\log t,b-a=a(t^2-1),\sqrt{ab}=at$$

だから、示すべき不等式は

$$at<\frac{a(t^2-1)}{2\log t}⟺2t\log t<t^2-1⟺\log t<\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)$$

(途中、$\log t>0$ と $a>0$ で割った。)

② 差を微分する。 $h(t)=\frac{1}{2}\left(t-\frac{1}{t}\right)-\log t$ とおくと $h(1)=0$ で

$$h^{\prime }(t)=\frac{1}{2}\left(1+\frac{1}{t^2}\right)-\frac{1}{t}=\frac{t^2-2t+1}{2t^2}=\frac{(t-1{)}^2}{2t^2}>0(t\ne 1)$$

③ 結論。 $h$ は $t\ge 1$ で増加し $h(1)=0$ だから、$t>1$ で $h(t)>0$ — すなわち①の不等式が成り立ち、もとの不等式が示された。

まとめ: 「同次式は比に落とす」で2変数の壁が消え、「差の微分が完全平方」で単調性が一撃で出る。この右辺の量(対数平均)は $\sqrt{ab}$ と $\frac{a+b}{2}$ のあいだに挟まることが知られていて、もう半分($<\frac{a+b}{2}$)も同じ骨格で示せる — 良い練習になる。

発展 — 一歩先へ。 対数平均 $L(a,b)=\frac{b-a}{\log b-\log a}$ は $\sqrt{ab}<L<\frac{a+b}{2}$ と、幾何平均と相加平均のあいだに挟まる(上側も同じ骨格: 帰着先は $\tanh s<s$ 型)。この量は「温度差の平均」として熱交換器の設計(対数平均温度差)に現れる実務の主役でもある。

別解

対称に置いて双曲線関数の芽を見る(種明かしの置換)。 $s=\log \sqrt{\frac{b}{a}}>0$ とおくと、$a,b$ は $\sqrt{ab}{e}^{\mp s}$ と幾何平均を中心に対称に書ける。すると

$$b-a=\sqrt{ab}\left(e^s-e^{-s}\right),\log b-\log a=2s$$

だから、示すべき不等式は

$$\sqrt{ab}<\frac{\sqrt{ab}\left(e^s-e^{-s}\right)}{2s}⟺e^s-e^{-s}>2s(s>0)$$

という、原点対称のきれいな形に化ける。差 $\phi (s)=e^s-e^{-s}-2s$ は $\phi (0)=0$ で

$${\phi }^{\prime }(s)=e^s+e^{-s}-2\ge 2\sqrt{e^s\cdot e^{-s}}-2=0$$

(相加相乗!)等号は $s=0$ のみだから $\phi$ は増加し、$s>0$ で $\phi (s)>0$。

本解の $t=\sqrt{b/a}$ と同じ1変数化だが、指数で書くと「差の微分が相加相乗で片づく」美しさが加わる。$\frac{e^s-e^{-s}}{2}$ と $\frac{e^s+e^{-s}}{2}$ の組は数IIIの終盤で双曲線関数として再会する部品だ。