グラフの概形(漸近線つき)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 グラフの概形は「極値」と「漸近線」の $2$ 点セットで決まる。

極値は $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}=0$ から $x=\pm 1$。

漸近線は $2$ 方向を調べる。$x\to 0$ では $\frac{1}{x}$ が暴れて $y\to \pm \infty$ — 縦の漸近線 $x=0$。$x\to \pm \infty$ では $\frac{1}{x}\to 0$ で、$y$ は直線 $y=x$ にすり寄る — 斜めの漸近線だ。

「関数 $=$ 主要部($x$)$+$ 消える部分($\frac{1}{x}$)」と分けて読むのが漸近線の目である。

① 極値を求める。 $y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$。$y^{\prime }=0$ は $x=\pm 1$。

• $x=1$:負→正 で極小。$y(1)=2$。
• $x=-1$:正→負 で極大。$y(-1)=-2$。

② 縦の漸近線。 $x\to 0$ で $\frac{1}{x}\to \pm \infty$。よって $x=0$ が漸近線。

③ 斜めの漸近線。 $x\to \pm \infty$ で $\frac{1}{x}\to 0$ なので $y=x+\frac{1}{x}\to x$。よって直線 $y=x$ が漸近線。

$$\text{極大値 }-2(x=-1),\text{極小値 }2(x=1),\text{漸近線 }x=0,y=x$$

まとめ:分数を含む関数のグラフは「極値 + 漸近線」で形が決まる。縦の漸近線は分母 $=0$、斜めの漸近線は $x\to \infty$ で消える項($\frac{1}{x}$)を落とした残り。極大値 $-2$ < 極小値 $2$ という不思議な大小は、$2$ つの枝が離れているためだ。

発展 — 一歩先へ。 この曲線、実は双曲線である。$45°$ 回転すると標準形の双曲線に一致し、$2$ 本の漸近線($x=0$ と $y=x$)がその証拠だ。数Cの $2$ 次曲線とつながっている。

「主要部 $+$ 消える部分」の分解は一般の分数関数で使える。$y=\frac{x^2+1}{x}$ を割り算して $x+\frac{1}{x}$ と読む、$y=\frac{x^2+3x+3}{x+1}$ なら $x+2+\frac{1}{x+1}$ で斜め漸近線 $y=x+2$ — 分子を分母で割った商が漸近線、余りが消える部分。多項式の割り算がグラフの読解術になる。

別解

極値の値 $\pm 2$ は、微分を使わず相加相乗平均で出せる。

$x>0$ のとき、正の $2$ 数 $x$ と $\frac{1}{x}$ に相加相乗平均の関係を使うと

$$x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$$

等号は $x=\frac{1}{x}$、つまり $x=1$ のとき。右半分の谷底が $(1,2)$ だと、不等式だけで確定した。

左半分は対称性で済む。$y=x+\frac{1}{x}$ は奇関数(原点対称)だから、右の谷 $(1,2)$ を原点対称に映した $(-1,-2)$ が左の山頂 — 極大値 $-2$ である。

微分ルートとの照合で答えは二重に固まる。さらに「積 $x\cdot \frac{1}{x}=1$ が一定 → 和は $2$ 数が等しいとき最小」という相加相乗の設計原理が見えると、$x+\frac{4}{x}$(最小 $4$)などの親戚問題も微分なしで即答できる。