極値(x + 1/x)

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $y=x+\frac{1}{x}$($x>0$)は、$2$ つの相反する項の和だ。

• $x$ — $x$ が大きいほど大きい
• $\frac{1}{x}$ — $x$ が小さいほど大きい

両方を小さくすることはできない。 $x$ を小さくすれば $\frac{1}{x}$ が暴れ、$x$ を大きくすれば $x$ 自身が暴れる。

「どこかに、いちばん得なバランス点がある」 — そう予想できる。

微分で見つけよう。

$$y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$$

$$y^{\prime }=0⟹x^2=1⟹x=1(x>0)$$

$x=1$ の前後で符号を調べると、負から正へ — つまり極小だ。

$$y=1+\frac{1}{1}=2$$

この $2$ という値には、微分を使わない別の導き方がある。 別解で見よう。

① $y^{\prime }$ を求める。

$$y^{\prime }=1-\frac{1}{x^2}$$

② $y^{\prime }=0$ を解く。 $x^2=1$、$x>0$ より $x=1$。

③ 符号を調べる。 $x<1$ で $y^{\prime }<0$、$x>1$ で $y^{\prime }>0$。負→正 なので $x=1$ で極小。

$$y(1)=1+1=2$$

まとめ:$x+\frac{1}{x}$($x>0$)は $x=1$ で極小値 $2$。相加相乗平均 $x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}=2$(等号 $x=1$)からも同じ最小値が出る。微分と不等式、$2$ つの見方でつながる。

発展 — 一歩先へ。 $y=x+\frac{1}{x}$ のグラフを、全体として眺めてみよう。

$x>0$ では、$x=1$ を底とする"谷"の形。 最小値は $2$。

$x<0$ では? 奇関数($f(-x)=-f(x)$)だから、原点対称の"山"になる。最大値は $-2$($x=-1$)。

そして、この関数には $2$ 本の漸近線がある。

① $x\to 0$ のとき、$\frac{1}{x}$ が暴れる → $y$ 軸($x=0$)が漸近線

② $x\to \pm \infty$ のとき、$\frac{1}{x}\to 0$ → $y=x$ に近づく

$2$ 本目が面白い。 縦でも横でもなく、斜めの漸近線だ。

$$y=x+\frac{1}{x}⟶y=x(x\to \pm \infty )$$

遠くから見ると、この曲線は直線 $y=x$ にぴったり寄り添っている。

斜め漸近線を見つける手順。

$$\underset{x\to \infty }{\lim }\left\{f(x)-(ax+b)\right\}=0$$

となる直線 $y=ax+b$ を探す。

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{f(x)}{x},b=\underset{x\to \infty }{\lim }\{f(x)-ax\}$$

この関数なら

$$a=\underset{x\to \infty }{\lim }\frac{x+\frac{1}{x}}{x}=\lim \left(1+\frac{1}{x^2}\right)=1$$

$$b=\underset{x\to \infty }{\lim }\left(x+\frac{1}{x}-x\right)=\lim \frac{1}{x}=0$$

斜め漸近線は $y=x$ ✓

グラフの全体像が、これで完成する。

• $x>0$: $y$ 軸に沿って上から降りてきて、$(1,2)$ で底を打ち、$y=x$ に沿って昇っていく
• $x<0$: 原点対称の形

$2$ 本の漸近線に挟まれた、$2$ つの枝。 双曲線に似た姿だ。

この形は、実は双曲線そのものである。

$$y=x+\frac{1}{x}⟹xy=x^2+1⟹x^2-xy+1=0$$

$2$ 次曲線の方程式だ。 判別式($xy$ の項があるので回転している)を調べると、双曲線と分かる。

「$x+\frac{1}{x}$」という素朴な式が、傾いた双曲線を描いていた。

そして、この関数は物理でも顔を出す。

電気回路のインピーダンス、レンズの公式($\frac{1}{a}+\frac{1}{b}=\frac{1}{f}$)、てこの原理 — 「足すと $\frac{1}{x}$ 型が現れる」構造は、あちこちにある。

最小値 $2$ という結果は、「バランスが取れているときが最も効率がよい」ことを意味する。

極端に偏った状態より、$2$ つが釣り合った状態のほうが得 — 相加相乗の不等式が語っているのは、そういうことなのだ。

別解

微分を使わずに、相加平均・相乗平均の不等式で解く。

$2$ つの正の数 $a$、$b$ について、こんな不等式が成り立つ。

$$\frac{a+b}{2}\geqq \sqrt{ab}(\text{等号は }a=b\text{ のとき})$$

「足して $2$ で割った値(相加平均)は、掛けて  ​ した値(相乗平均)以上」

この不等式を、$a=x$、$b=\frac{1}{x}$ に使う。

($x>0$ なので、$\frac{1}{x}>0$。$2$ つとも正だから、不等式が使える。)

$$x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{x\cdot \frac{1}{x}}$$

根号の中を見てほしい。

$$x\cdot \frac{1}{x}=1$$

約分されて、$1$ になる! ここが、この不等式が効く理由だ。

$$x+\frac{1}{x}\geqq 2\sqrt{1}=2$$

最小値は $2$ 以上と分かった。

等号が成り立つのは、$a=b$ のとき、つまり

$$x=\frac{1}{x}⟹x^2=1⟹x=1$$

$x=1$ で、確かに $y=2$ になる。

最小値 $2$($x=1$)✓ 微分を $1$ 度も使っていない。

なぜ、相加相乗が効いたのか。

「掛けると定数になる $2$ 数の和」だったからだ。

$$x\times \frac{1}{x}=1(\text{一定})$$

積が一定なら、和は $2\sqrt{\text{積}}$ 以上。 等号は、$2$ つが等しいとき。

この構造を見抜けるかどうかが、勝負の分かれ目だ。

同じ構造の問題を、いくつか見ておこう。

$$y=x+\frac{4}{x}(x>0)⟹\geqq 2\sqrt{4}=4(x=2\text{ のとき})$$

$$y=2x+\frac{8}{x}(x>0)⟹\geqq 2\sqrt{16}=8(x=2\text{ のとき})$$

「積が定数になるペア」を見つけたら、相加相乗。

ただし、落とし穴もある。

$y=x+\frac{1}{x}$ で、$x<0$ のときは?

相加相乗は、正の数にしか使えない。 $x<0$ では使えない。

このとき、実は $y\leqq -2$ になる(最大値 $-2$)。符号がひっくり返る。

「$x>0$」という条件が問題文にあった理由が、これである。

微分なら、条件を忘れても増減表が教えてくれる。相加相乗は速いが、適用条件に注意が要る。

速さと安全性。 $2$ つの道具を、場面で使い分けたい。