数学III / 微分法の応用

sinx/x の単調性とジョルダンの不等式

最難関編単調性2段の微分

問題

(1) $0 < x < π$ のとき、関数 $\frac{sin x}{x}$ は減少することを示せ。

(2) $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ のとき、不等式 $sin x \geq \frac{2}{π} x$ が成り立つことを示せ。

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商の微分の符号は分子で決まる — その分子の符号がまた読めないときはどうするか。(2)は新しい計算を始めるのではなく、(1)の「減少」をそのまま最小値の言葉に言い換えるだけで届く。

解答・解説

方針

(1)は商の微分の分子 g(x)=x cosx−sinx の符号が全て — g(0)=0 と g'=−x sinx<0 の「端が0でそこから減る」2段の微分で g<0 を出す。(2)は(1)の系: 減少関数 sinx/x の [0,π/2] での最小は右端の値 2/π。

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $(\frac{sin x}{x})^{'} = \frac{x cos x - sin x}{x ^{2}}$ 。符号は分子 $g (x) = x cos x - sin x$ が握る。だが $g$ の符号も一目では読めない。

そこでもう一段微分する。 $g (0) = 0$ かつ $g^{'} (x) = - x sin x < 0$ なら、 $g$ は0から出発して減る一方、つまり負だ。「端の値が0+導関数の符号」で、1つ下の階から符号を持ち上げる型になる。

(2)は(1)ができれば一瞬。減少関数の最小は右端だから $\frac{sin x}{x} \geq \frac{sin ( π /2 )}{π /2} = \frac{2}{π}$ 。

重要2段の微分: 符号の読めない

g

は、

g (0) = 0

と

g^{'}

の符号で決める。減少関数の区間での最小値は右端の値

① 分子の符号((1))。 $g (x) = x cos x - sin x$ とおくと $g (0) = 0$ 、

$g^{'} (x) = cos x - x sin x - cos x = - x sin x < 0 (0 < x < π)$

よって $g$ は減少し、 $g (x) < g (0) = 0$ 。したがって

$(\frac{sin x}{x})^{'} = \frac{g ( x )}{x ^{2}} < 0$

で $\frac{sin x}{x}$ は $0 < x < π$ で減少する。

② 右端の値で押さえる((2))。 $0 < x \leq \frac{π}{2}$ では、(1)より

$\frac{sin x}{x} \geq \frac{sin \frac{π}{2}}{\frac{π}{2}} = \frac{2}{π} ⟹ sin x \geq \frac{2}{π} x$

$x = 0$ では両辺とも0で等号。よって $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ 全体で成り立つ(等号は $x = 0, \frac{π}{2}$ )。

0≤x≤π/2 で正弦の弧(青)は弦 y=2x/π(赤)の上側にある。両端 x=0, π/2 で一致(等号)

まとめ: 「分子を切り出す → 端が0+もう一段の微分で符号を決める」が(1)、「単調性を最小値の言葉に翻訳する」が(2)。正弦の弧が弦 $y = \frac{2}{π} x$ の上に乗る、という図の事実の解析的な証明で、積分の評価などあちこちで部品として使われる不等式だ。

発展 — 一歩先へ。 この不等式( $sin x \geq \frac{2}{π} x$ )はジョルダンの不等式と呼ばれ、のちに積分の評価で主役になる。たとえば $\int_{0}^{π /2} e^{- R s i n θ} d θ \leq \int_{0}^{π /2} e^{- \frac{2 R}{π} θ} d θ \leq \frac{π}{2 R}$ — 「 $sin$ を弦で置き換えると指数の積分が計算できる形になる」という使い方だ。弧と弦の隙間を評価に変える、幾何発の解析の道具である。

答

(1) 分子 $g (x) = x cos x - sin x$ が $g (0) = 0, g^{'} < 0$ で負(証明) (2) 減少関数の最小は右端: $\frac{s i n x}{x} \geq \frac{2}{π}$

別解

「弦の傾き」と読む(凸性の幾何で全部見える)。 $\frac{sin x}{x}$ は、原点と点 $(x, sin x)$ を結ぶ弦の傾きにほかならない。

$sin$ は $0 < x < π$ で上に凸( $(sin x)^{''} = - sin x < 0$ )。上に凸な曲線では、原点から曲線上の点へ引いた弦は、点が右へ進むほど寝ていく(傾きが減る)— これが(1)の「減少」の図形的な正体だ。

(2)も同じ絵で読める。上に凸な弧は、両端を結ぶ弦の上側にある。 $(0, 0)$ と $(\frac{π}{2}, 1)$ を結ぶ弦が $y = \frac{2}{π} x$ だから、 $0 \leq x \leq \frac{π}{2}$ で

$sin x \geq \frac{2}{π} x$

等号は両端のみ。

答案では凸性の根拠( $sin^{''} \leq 0$ )と「凸なら弦の上」の言い換えを添える必要があるが、2階微分1回で(1)(2)が同時に見えるのがこの視点の強みだ。本解の「2段の微分」が代数の道、凸性が幾何の道 — 同じ山の2つの登山口になっている。

ポイント

$g = x cos x - sin x$ : $g (0) = 0$ 、 $g^{'} = - x sin x < 0$ → $g < 0$ 。
$\frac{s i n x}{x}$ は $(0, π)$ で減少。
右端の値 $\frac{2}{π}$ で押さえて $sin x \geq \frac{2}{π} x$ 。

よくある間違い

(1)で商の微分の分子 $g = x cos x - sin x$ の符号を「明らかに負」で済ませる(もう一段の微分 $g^{'} = - x sin x$ が要る)。
(2)を独立に微分し始める((1)の減少を「最小は右端」と言い換えるだけで届く)。
$x = 0$ の扱いを放置する( $\frac{s i n x}{x}$ は $x = 0$ で未定義。(2)は $x = 0$ で両辺0の等号として別に確認)。