平均値の定理

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 平均値の定理は、「割線の傾き」と「接線の傾き」を結びつける定理だ。

言葉で言うと、こうなる。

「区間の両端を結んだ直線と、平行な接線が、区間のどこかに必ず引ける。」

イメージしてほしい。

東京から大阪まで、平均時速 $80$ km で走った。 途中で、ちょうど時速 $80$ km だった瞬間が必ずある。

平均を出したなら、その平均値をぴったり実現する瞬間がどこかにある — それが平均値の定理である。

式で書くと

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)(a<c<b)$$

左辺が「平均変化率(割線の傾き)」、右辺が「$c$ での接線の傾き」。

この問題では、両辺を計算して $c$ を求めるだけだ。

まず左辺(平均変化率)を数値で出し、次に $f^{\prime }(c)$ とおいて $c$ を解く。 手順は単純である。

① 平均変化率(左辺)を計算する。

$$\frac{f(3)-f(1)}{3-1}=\frac{9-1}{2}=4$$

② $f^{\prime }(c)$ と等しいとおく。 $f^{\prime }(x)=2x$。

$$f^{\prime }(c)=2c=4\Rightarrow c=2$$

③ 範囲を確認する。 $c=2$ は $1<c<3$ を満たす。

まとめ:平均値の定理は「$2$ 点を結ぶ直線の傾き(平均変化率)と同じ傾きの接線が、途中に必ずある」という定理。その接点の $x$ が $c$。$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)$ を解くだけで求まる。

発展 — 一歩先へ。 平均値の定理は、「$c$ がどこにあるか教えてくれない」。それなのに、なぜ最重要定理なのか。

答えは、「存在するだけで十分な場面が、山ほどある」からだ。

応用 $1$: 「$f^{\prime }=0$ ならば、$f$ は定数」の証明。

当たり前に思えるだろうか。だが、証明が要る。

区間内の任意の $2$ 点 $a<b$ をとる。 平均値の定理より

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)=0$$

$$f(b)-f(a)=0⟹f(b)=f(a)$$

どの $2$ 点でも値が等しい → 定数関数 ✓

$c$ がどこにあるかは、まったく使っていない。 ただ「存在する」ことだけで、証明が完結した。

この結果は、積分の基礎になる。

「原始関数は、定数の差を除いて $1$ 通り」 — 不定積分の $+C$ が正当化されるのは、この定理のおかげだ。

$$F^{\prime }=G^{\prime }⟹(F-G{)}^{\prime }=0⟹F-G=C$$

応用 $2$: 「$f^{\prime }>0$ ならば、$f$ は増加」の証明。

これも、当たり前に見えて、証明が要る。

$$\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=f^{\prime }(c)>0$$

$b>a$ だから、$f(b)>f(a)$ ✓

増減表の根拠が、平均値の定理だった。

「導関数の符号から、関数の増減が分かる」 — 我々が毎回やっているこの推論は、平均値の定理に支えられている。

応用 $3$: 不等式の証明。

$x>0$ で $\log (1+x)<x$ を示そう。

$f(t)=\log (1+t)$ に、区間 $[0,x]$ で平均値の定理を使う。

$$\frac{\log (1+x)-\log 1}{x-0}=f^{\prime }(c)=\frac{1}{1+c}(0<c<x)$$

$$\log (1+x)=\frac{x}{1+c}$$

ここで $c>0$ だから $1+c>1$、よって $\frac{1}{1+c}<1$。

$$\log (1+x)<x■$$

$c$ の正確な位置は不要。「$0<c<x$」という範囲だけで、不等式が示せた。

これが平均値の定理の使い方だ。

「$c$ は存在する。位置は分からない。だが、範囲は分かる。」

その"範囲"の情報だけで、驚くほど多くのことが証明できる。

微分の理論を支える屋台骨 — それが平均値の定理である。

そして、この定理自体は、もっと基本的な「最大値・最小値の定理」から導かれる。

$$\text{最大値の存在}\to \text{ロルの定理}\to \text{平均値の定理}\to \text{増減・不等式・積分の理論}$$

数学は、こうして $1$ 段ずつ積み上げられている。

別解

答えの $c=2$ が「区間の中点」であることに、気づいただろうか。

$$\frac{1+3}{2}=2$$

これは偶然か。それとも、必然か。

一般の $2$ 次関数で、確かめてみよう。

$$f(x)=a{x}^2+bx+d(a\ne 0)$$

区間 $[p,q]$ での平均変化率を計算する。

$$\frac{f(q)-f(p)}{q-p}=\frac{a(q^2-p^2)+b(q-p)}{q-p}$$

分子の $q^2-p^2$ を因数分解する。

$$=\frac{a(q+p)(q-p)+b(q-p)}{q-p}=a(p+q)+b$$

平均変化率が、きれいな形になった。

一方、導関数は

$$f^{\prime }(x)=2ax+b$$

平均値の定理の式に入れる。

$$2ac+b=a(p+q)+b$$

$$2ac=a(p+q)$$

$a\ne 0$ で割る。

$$c=\frac{p+q}{2}$$

$$\boxed{2\text{ 次関数では、}c\text{ は必ず区間の中点}}$$

偶然ではなかった。 $2$ 次関数なら、どんな区間でも、$c$ は中点になる。

この問題では $\frac{1+3}{2}=2$ ✓ 計算するまでもなかった。

なぜ、中点になるのか。

放物線が、軸に関して左右対称だからだ。

区間の両端から等距離の点(中点)で、対称性から傾きが平均になる。

では、$3$ 次関数ではどうか。

$$f(x)=x^3,\text{区間 }[0,3]$$

平均変化率は

$$\frac{27-0}{3-0}=9$$

$f^{\prime }(c)=3c^2=9$ より

$$c=\sqrt{3}\approx 1.732$$

中点($1.5$)ではない!

$3$ 次関数は左右対称ではないので、$c$ は中点からずれる。

「中点になるのは $2$ 次関数の特権」だった。

この観察が教えてくれること。

平均値の定理は「$c$ が存在する」としか言っていない。 どこにあるかは、関数によって違う。

「存在は保証するが、位置は教えない」

この一見弱そうな主張が、微積分の最重要定理のひとつである理由は、次の発展で明らかになる。