方程式の実数解の個数

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 「解の個数」は「曲線 $y=\frac{\log x}{x}$ と横線 $y=a$ の交点の数」に翻訳する(定数分離)。

だから曲線の形をつかむ。最大値 $\frac{1}{e}$($x=e$)、$x\to 0^{+}$ で $-\infty$、$x\to \infty$ で $0$ に上から近づく。

この山型に横線 $y=a$ を当てる。

高さ $a$ を動かして交点数を数え、$a$ で場合分けする、と見通す。

① 曲線の様子。 $f(x)=\frac{\log x}{x}$ は $x=e$ で最大値 $\frac{1}{e}$。$x\to 0^{+}$ で $f\to -\infty$(増加)、$x=e$ まで増えて、$x\to \infty$ で $0$ に上から近づく(減少して正のまま $0$ へ)。

② 横線 $y=a$ との交点を数える。

• $a\le 0$:$x=1$ 付近まで($f<0$ の増加部分)で $1$ 個(横線は左側の枝だけと交わる)。
• $0<a<\frac{1}{e}$:増加部分と減少部分で $1$ つずつ、$2$ 個。
• $a=\frac{1}{e}$:最大点でちょうど接し、$1$ 個。
• $a>\frac{1}{e}$:最大値を超えるので $0$ 個。

まとめ:解の個数は「曲線と横線の交点」。$f=\frac{\log x}{x}$ は最大 $\frac{1}{e}$ の山型で、右側は $0$ に上から漸近。横線 $y=a$ の高さで $1\to 2\to 1\to 0$ 個と変わる。$a=\frac{1}{e}$(接する)と $a=0$(境目)が場合分けの境界。

発展 — 一歩先へ。 境目の高さ $a=\frac{1}{e}$ は、じつは「原点から $\log x$ に引いた接線の傾き」でもある。$\frac{\log x}{x}=a$ を $\log x=ax$ と見れば、上に凸な曲線 $y=\log x$ と原点を通る直線 $y=ax$ の交点を数える問題になるからだ。

原点からの接線の傾きがちょうど $\frac{1}{e}$。だから $a>\frac{1}{e}$ では線が急すぎて曲線に届かず $0$ 個、$a=\frac{1}{e}$ で接して $1$ 個、$0<a<\frac{1}{e}$ で $2$ 個、$a\le 0$ では線が右下がり(または水平)で曲線を $1$ 回だけ横切る。

「曲線 $\times$ 横線」と「凹凸曲線 $\times$ 原点からの直線」、$2$ つの見方が同じ答えを出す。接線の傾きが場合分けの境界を決めている。

別解

別解 — 原点を通る直線との交点で数える(得意な人向けの視点)。 $\frac{\log x}{x}=a$ の両辺に $x$ を掛けると $\log x=ax$。これは「曲線 $y=\log x$ と原点を通る直線 $y=ax$ の交点の数」を数える問題に変わる。

$y=\log x$ は上に凸。原点から引いた接線の傾きは $\frac{1}{e}$(接点 $(e,1)$)。この接線が交点数の境目になる。

• $a>\frac{1}{e}$:直線が接線より急で、曲線に届かず交点 $0$ 個。
• $a=\frac{1}{e}$:接して $1$ 個。
• $0<a<\frac{1}{e}$:接線より緩やかで、曲線を $2$ 回横切り $2$ 個。
• $a\le 0$:直線が水平か右下がりで、$\log x$ を $1$ 回だけ横切り $1$ 個。

曲線を山型に描いて横線を当てる本解と同じ結果。「横線 $\times$ 山型曲線」と「原点からの直線 $\times$ 対数曲線」は、同じ方程式の見方を変えただけ。前者は最大値、後者は接線が境界を教えてくれる。