原点を通る接線

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 原点 $(0,0)$ は $y=\log x$ の上にない($\log x$ は $x=1$ で $0$、$x\to 0$ で $-\infty$)。曲線外の点から引く接線 — 接点を文字でおく型だ。

接点を $(t,\log t)$ とおく。そこでの接線は、傾き $\frac{1}{t}$ で

$$y=\frac{1}{t}(x-t)+\log t$$

これが原点を通る条件 $0=-1+\log t$ から $\log t=1$、$t=e$。接点 $(e,1)$、接線 $y=\frac{x}{e}$ が決まる。

① 接点をおき、接線を作る。 接点 $(t,\log t)$、傾き $f^{\prime }(t)=\frac{1}{t}$。

$$y=\frac{1}{t}(x-t)+\log t=\frac{x}{t}-1+\log t$$

② 原点を通る条件を書く。 $x=0$、$y=0$ を代入。

$$0=0-1+\log t\Rightarrow \log t=1\Rightarrow t=e$$

③ 接線を書く。 $t=e$ を戻す。傾き $\frac{1}{e}$。

$$y=\frac{x}{e}-1+1=\frac{1}{e}x$$

まとめ:「曲線の外の点(原点)から接線」は、接点 $(t,\log t)$ を文字でおくのが決め手。原点を通る条件で $t$ の方程式を作ると $\log t=1$、$t=e$。接点 $(e,1)$ での接線 $y=\frac{1}{e}x$ が求まる。

発展 — 一歩先へ。 接線 $y=\frac{x}{e}$ は、原点から $y=\log x$ に引ける唯一の接線だ($\log t=1$ の解が $1$ つだけだから)。この直線より傾きの大きい原点通過直線は曲線と $2$ 回交わり、小さければ $1$ 回 — $y=\frac{x}{e}$ は「交わり方の境目」で、方程式 $\log x=kx$ の解の個数問題($k=\frac{1}{e}$ が境界)の答えを先取りしている。

鏡像の $y=ex$ 側では、これが「$e^x=kx$ の解の個数は $k=e$ が境目」という有名問題になる。$e^{\pi }$ と ${\pi }^e$ の大小比較も同じ山($\frac{\log x}{x}$ の $x=e$ での最大)につながる — 原点からの接線 $1$ 本が、指数対数の入試問題の分水嶺なのだ。

別解

兄弟問題「$y=e^x$ の接線で原点を通るもの」を知っていると、この答えは鏡で映すだけで出る。

$y=e^x$ 側を先に解くと: 接点 $(t,e^t)$ の接線 $y=e^t(x-t)+e^t$ が原点を通る条件は $0=e^t(1-t)$、つまり $t=1$。接線は $y=ex$(接点 $(1,e)$)。

ここで $y=\log x$ と $y=e^x$ は互いに逆関数 — グラフは直線 $y=x$ について鏡写しだ。鏡写しの世界では、接線は接線に、原点は原点(直線 $y=x$ 上の点だから動かない)に移る。

だから $y=ex$ を $y=x$ で折り返した直線が答え。折り返しは $x$ と $y$ の交換だから

$$x=ey⟺y=\frac{x}{e}$$

接点 $(1,e)$ も $(e,1)$ に移る — 直接計算の結果と完全に一致する。

「指数の問題と対数の問題は $y=x$ の鏡で対」— 片方を解けばもう片方はただ。計算の照合にも、片方しか思い出せないときの復元にも使える対称性である。