変曲点と点対称

方針

解答

⓪ 発想 — どう考え始めるか。 $3$ 次関数のグラフは、変曲点に関して必ず点対称になる。

まず $y^{\prime \prime }=0$ から変曲点を求める。

次に、その点を中心に対称であることを式で確かめる。$f(1+h)+f(1-h)=2f(1)$ が成り立つかを見る。

「$3$ 次関数の対称の中心は変曲点」という構造を、計算で検証する。

① 変曲点を求める。 $y^{\prime }=3x^2-6x$、$y^{\prime \prime }=6x-6$。$y^{\prime \prime }=0$ は $x=1$。前後で符号が変わる(変曲点)。$y(1)=1-3+2=0$。

$$\text{変曲点}(1,0)$$

② 点対称を確認する。 変曲点 $(1,0)$ に関して点対称なら、$x=1+h$ と $x=1-h$ での値の平均が $y(1)=0$ になるはず($f(1+h)+f(1-h)=2f(1)$)。

$f(x)=x^3-3x^2+2$ で計算すると

$$f(1+h)+f(1-h)=0=2f(1)$$

(実際、$3$ 次の項と $1$ 次の項の $h$ の奇数乗が打ち消し合う。)よって $(1,0)$ に関して点対称。

まとめ:$3$ 次関数のグラフは、変曲点を中心に $180^{\circ }$ 回すと自分自身に重なる(点対称)。変曲点は $y^{\prime \prime }=0$ の点で、$x^3$ の係数と $x^2$ の係数から $x=-\frac{(x^2\text{の係数})}{3(x^3\text{の係数})}$ でも出る(ここでは $x=\frac{3}{3}=1$)。

発展 — 一歩先へ。 この点対称は、$3$ 次関数すべてに共通の性質だ。一般の $y=a{x}^3+b{x}^2+cx+d$ でも、$y^{\prime \prime }=6ax+2b=0$ から変曲点の $x$ 座標は $x=-\frac{b}{3a}$ で、グラフはこの点に関して点対称になる。変曲点で横にずらすと $x^2$ の項が消え、奇関数に定数を足した形になるからだ。

この対称の中心 $x=-\frac{b}{3a}$ には、もう一つの意味がある。$3$ 次方程式の解の和は $-\frac{b}{a}$(解と係数の関係)だから、その平均が $-\frac{b}{3a}$。つまり変曲点の $x$ 座標は「$3$ つの解の平均」でもある。

いまの $y=x^3-3x^2+2$ なら、$3$ 解は $1$ と $1\pm \sqrt{3}$。平均は $1$ で、変曲点の $x$ 座標にぴったり一致する。対称の中心が解のまん中にくる、と見ると腑に落ちる。

別解

別解 — 変曲点を原点に移して奇関数にする(得意な人向けの視点)。 点対称を、平行移動で「奇関数のグラフ」に帰着させる。

変曲点は $(1,0)$。そこで $X=x-1$ と横にずらす($Y=y$)。$x=X+1$ を代入すると

$$Y=(X+1{)}^3-3(X+1{)}^2+2=X^3-3X.$$

右辺 $X^3-3X$ は奇関数($X$ を $-X$ に変えると符号が反転する)。奇関数のグラフは原点対称だ。

原点は $X$-$Y$ 座標での変曲点、つまりもとの $(1,0)$。だから、もとのグラフは $(1,0)$ に関して点対称。$f(1+h)+f(1-h)=2f(1)$ を直接計算する本解と同じ結論を、「ずらすと奇関数」の一言で言い切れる。